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1.3. TAUTOLOGIE, ANTILOGIE, SATISFIABILITÉ 21 La première technique consiste à calculer une forme prénexe de la formule obtenue après la première élimination, puis à éliminer les quantificateurs restants. Dans ce cas, la forme prénexe de la formule 1.3 obtenue après la ∃–élimination de x 1 est : (Q 2 x 2 ...Q n x n Q 2 x ′ 2...Q n x ′ n f[x 1 ← 0]∨f[x 1 ← 1][x 2 ← x ′ 2,...,x n ← x ′ n]) (1.5) La normalisation sous forme prénexe de la formule 1.3 requiert le renommage des n − 1 variables d’une des formules de la disjonction. La forme prénexe 1.5 obtenue possède 2n − 2 variables quantifiées. Cette technique expanse donc la forme prénexe et ne peut réduire la formule par Q–élimination, à moins d’utiliser des réécritures sur la formule sans quantificateur (f[x 1 ← 0] ∨ f[x 1 ← 1][x 2 ← x ′ 2,...,x n ← x ′ n]). Cette technique ne peut donc s’appliquer sans risquer une expansion coûteuse de la forme prénexe. La seconde technique consiste à éliminer séparément les quantificateurs des deux formes prénexes (Q 2 x 2 ...Q n x n f[x 1 ← 0]) et (Q 2 x 2 ...Q n x n f[x 1 ← 1]) obtenues dans 1.3 ou 1.4, pour les recombiner ensuite. Il est aisé de voir que cet algorithme se termine, mais qu’il requiert 2 n Q–éliminations. Nous montrons dans la section suivante que l’élimination de la droite vers la gauche est moins coûteuse. 1.2.2 Elimination droite-gauche des quantificateurs On considère la forme prénexe (Q 1 x 1 ...Q n x n f), où f est sans quantificateur. On définit récursivement la séquence de formules f k sans quantificateur pour 0 ≤ k ≤ n par : f n = f Si Q k = ∃ alors f k−1 = f k [x k ← 0]∨f k [x k ← 1] Si Q k = ∀ alors f k−1 = f k [x k ← 0]∧f k [x k ← 1] Onvoitquef k estuneformesansquantificateurde(Q k+1 x k+1 f k+1 ),quiestaussiuneforme sans quantificateur de (Q k+1 x k+1 ...Q n x n f). Aussi f 0 est une forme sans quantificateur de la formule initiale f. La forme sans quantificateur d’une forme prénexe à n variables quantifiées est ainsi obtenue par seulement 1 n Q–eliminations de droite à gauche. En revanche, si aucune réécriture n’est effectuée pour réduire les formules f k au cours du calcul, alors la taille de la formule f 0 est en O(2 |f| ) si la taille de f est |f|. 1.3 Tautologie, antilogie, satisfiabilité Une formule f est une tautologie (respectivement une antilogie) si et seulement si elle dénote la fonction 1 (respectivement la fonction 0). Une formule est satisfiable si et seulement si elle ne dénote pas la fonction 0. Le problème de la preuve consiste à savoir si une formule est une tautologie. Ce problème contient les deux autres, à savoir l’antilogie et la satisfiabilité : une formule f est une antilogie si et seulement si (¬f) est une tautologie, et f est satisfiable si et seulement si (¬f) n’est pas une tautologie. Soit f(x 1 ,...,x n ) une formule dont les variables libres sont x 1 ,...,x n . On a le résultat suivant : 1 Ceci est dû au fait que l’élimination droite-gauche ne brise pas la forme prénexe de la formule, à la différence de l’élimination gauche-droite.
22 CHAPITRE 1. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE QUANTIFIÉE Théorème 1.3 La formule f(x 1 ,...,x n ) est une tautologie si et seulement si la formule close (∀x 1 ...∀x n f(x 1 ,...,x n )) est une tautologie. Comme la manipulation syntaxique consistant à passer de la formule f(x 1 ,...,x n ) à la formuleclose(∀x 1 ...∀x n f(x 1 ,...,x n )), etréciproquement, s’effectueenO(n), déterminer siuneformulequelconqueestunetautologieestunproblèmedemêmecomplexitéquecelui de déterminer si une formule close est une tautologie. On s’intéresse donc ici à déterminer si une formule close dénote la fonction tautologie 1. La forme sans quantificateur d’une formule close ne peut qu’être la fonction constante 0 ou 1. Pour savoir si une formule close est une tautologie, il suffit d’en calculer une forme sans quantificateur, puis de vérifier que celle-ci dénote la fonction 1. Elimination gauche-droite pour la validité D’après la Section 1.2.1, l’obtention d’une forme sans quantificateur d’une forme prénexe (Q 1 x 1 ...Q n x n f) se fait par 2 n Q–éliminations et combinaisons de la gauche vers la droite. En utilisant les règles de réécritures élémentaires ci-dessous portant uniquement sur les constantes 0 et 1 (une réécriture étant effectuée à chaque retour récursif d’une Q–élimination), une formule close est réduite en la constante 0 ou 1. ¬0 → 1 ¬1 → 0 0∨t → t 1∨t → 1 Elimination droite-gauche pour la validité D’après la Section 1.2.2, l’obtention d’une forme sans quantificateur d’une formule close (Q 1 x 1 ...Q n x n f) se fait par n Q–éliminations droite-gauche. La formule obtenue, de taille exponentielle par rapport à la taille de f, ne fait intervenir que les constantes 0 et 1, ainsi que les opérateurs usuels. Le système de réécriture nécessaire pour réduire cette formule en sa constante équivalente est donc le même que précédemment. 1.4 Résolution d’équations Soit (Q 1 x 1 ...Q n x n f) une formule close, où f est sans quantificateur. Notons x k1 ,...,x km les m variables qui apparaissent quantifiées existentiellement de gauche à droite (c’est à dire k 1 < ... < k m ). Cette formule peut être considérée comme une équation, dont les inconnues sont les variables quantifiées existentiellement. On dira qu’un m–uplet de formules [f 1 ...f m ] est une solution de l’équation si et seulement si :
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3.2. COMPARAISON DE MACHINES SÉQUE
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3.3. VÉRIFICATION DE PROPRIÉTÉS
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3.4. MINIMISATION DE MACHINES SÉQU
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Chapitre 4 Calcul de l’image d’
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4.2. CALCUL DIRECT DE IMG( ⃗ F,χ
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4.3. DÉCOMPOSITION DU CALCUL DE L
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4.4. RESTRICTEUR D’IMAGE 93 du Th
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4.7. RÉSULTATS EXPÉRIMENTAUX ET D
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4.8. CONCLUSION 107 4.8 Conclusion
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Chapitre 5 Calcul de l’image réc
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5.2. CALCUL DE PRE( F,CNS,χ) ⃗
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5.5. CONCLUSION 117 graphes de la f
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CONCLUSION 119 Conclusion Lavérifi
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Annexes 121
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