Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

Annexe C
Dénotation d’ensembles par des
fonctions
Onétudieicilareprésentationdespartiesde{0,1} n . Ondistingueratroisfaçonsdedénoter
un ensemble à l’aide de fonctions booléennes, à savoir : la fonction caractéristique, l’image
d’une fonction, et l’image réciproque d’une fonction. On étudiera aussi comment passer
d’une de ces trois représentations à une autre.
C.1 Fonction caractéristique
Soit f une fonction de ({0,1} n → {0,1}). On dit que f est la fonction caractéristique du
sous-ensemble E de {0,1} n défini par :
E = {⃗x ∈ {0,1} n / f(⃗x) = 1}
Réciproquement, toute partie de {0,1} n est dénotée par une unique fonction caractéristique.
Dans la suite, on notera χ une fonction pour laquelle on s’intéresse à
l’ensemble qu’elle dénote. On confondra un ensemble et sa fonction caractéristique. On
dispose d’un isomorphisme entre ({0,1} n → {0,1}) et l’ensemble des parties de {0,1} n .
Plus précisement, on obtient les identités suivantes, où χ E est la fonction caractéristique
de E :
χ ∅ = 0
χ {0,1} n = 1
χ E∪F = λ⃗x.(χ E (⃗x)∨χ F (⃗x))
χ E∩F = λ⃗x.(χ E (⃗x)∧χ F (⃗x))
χ E\F = λ⃗x.(χ E (⃗x)∧¬χ F (⃗x))
χ E×F = λ[⃗x@⃗y].(χ E (⃗x)∧χ F (⃗y))
(⃗x ∈ E) = χ E (⃗x)
(E ⊆ F) = λ⃗x.(χ E (⃗x) ⇒ χ F (⃗x))
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