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136 ANNEXE D. ENSEMBLE DE FONCTIONS
D.3 Fonction paramétrée contrainte
Simaintenantons’autoriseunefonctionparamétréedontlesparamètresnesontpluslibres
de prendre toutes valeurs fonctionnelles, mais assignés à prendre uniquement les valeurs 0
et 1, alors on obtient un pouvoir de dénotation supérieur, puisque tout ensemble non vide
E = {f 0 ,...,f m } de fonctions de ({0,1} n → {0,1}) peut être représenté par une fonction
( m∧
f(⃗x,p 1 ,...,p m ) = f 0 (⃗x)∧(
j=1
)
¬p j ) ∨
( m ∨
k=1
(
fk (⃗x)∧p k ∧(k−1 ∧
j=1
¬p j ) )) ,
avec ⃗p ∈ {0,1} m . Bien entendu, il existe une représentation paramétrée (à valeur dans
{0, 1}) n’utilisant que ⌈log 2 |E|⌉ paramètres. Il suffit pour cela de considérer le codage
binaire de l’indice k des fonctions f k . Le problème de cette technique est le nombre
prohibitif (potentiellement 2 2n ) de paramètres nécéssaires pour représenter un ensemble
quelconque de fonctions.
Afin de pallier cet inconvénient, on peut définir un ensemble de fonctions par une
fonction paramétrée f(⃗x,⃗p), où le domaine des valeurs que peuvent prendre les paramètres
⃗p en fonction de ⃗x est donnée par une fonction caractéristique χ(⃗p,⃗x). On obtient ici
encore un pouvoir de dénotation permettant de représenter tout ensemble de fonctions,
mais beaucoup plus efficace, car tout ensemble de fonctions peut être ainsi représenté en
utilisant au plus n paramètres.
Cette dernière représentation est la meilleure, mais n’est curieusement jamais utilisée
dans les problèmes liés à la conception de circuits, tel que la minimisation de fonction. Il
faut dire qu’à notre connaissance, les problèmes pratiques de minimisation en conception
de circuits semblent toujours pouvoir s’exprimer à l’aide de fonctions partielles.