Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

30 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
Si cette expansion est réitérée sur les fonctions f 0 et f 1 , on obtient un arbre binaire, appelé
arbre de Shannon, dont les feuilles sont les fonctions constantes 0 et 1.
La syntaxe des arbres de Shannon est définie à partir des symboles de variable
x 1 ,...,x n , et d’un nouveau symbole △. Voici une syntaxe contenant les arbres de Shannon
:
< tree > ::= △(< var >,< tree >,< tree >)
::= 0 | 1
< var > ::= x 1 | ... | x n
L’arbre de Shannon d’une formule f est obtenue par l’évaluation du terme Tree(1,f), où
la fonction Tree est décrite par :
(1 ≤ k ≤ n) ⇒ (2.2)
Tree(k,f) = △(x k ,Tree(k +1,f[x k ← 0]),Tree(k +1,f[x k ← 1]))
Tree(n+1,0) = 0 (2.3)
Tree(n+1,1) = 1 (2.4)
La règle 2.2 est l’expansion de Shannon par rapport à x k . Comme chaque expansion de
Shannon donne un couple de fonctions unique, ce système de réécriture est canonique. Par
exemple, l’arbre 2 de décomposition de la formule f = (x 1 ∧(x 3 ⊕x 4 ))∨(x 2 ∧(x 3 ⇔ x 4 ))
est représenté par la Figure 1. Mais l’arbre canonique de Shannon d’une formule de n
variables possède 2 n feuilles et 2 n − 1 structures △( , , ), ce qui ne constitue pas une
bonne représentation.
Figure 1. Arbre de Shannon de (x 1 ∧(x 3 ⊕x 4 ))∨(x 2 ∧(x 3 ⇔ x 4 )).
2 Cet arbre permet de calculer graphiquement la valeur de f pour toute interprétation i de ses variables,
tout comme une table de vérité. On descend dans l’arbre en partant de sa racine, en choisissant à chaque
noeud △(x k ,L,H) soit la branche gauche L si i(x k ) = 0, soit la branche droite H si i(x k ) = 1. La valeur
de la feuille atteinte en fin de parcours est la valeur i(f) recherchée.