Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

E.4.
RÉDUCTION POLYNOMIALE : L’OPÉRATEUR “RESTRICT” 141
function restrict(f,D) : TDG;
if D = 0 then error;
return rstr(f,D);
function rstr(f,D) : TDG;
if D = 1 or f = 0 or f = 1 then return f;
let x = D.root in {
if D[x ← 0] = 0 then return rstr(f[x ← 1],D[x ← 1]);
if D[x ← 1] = 0 then return rstr(f[x ← 0],D[x ← 0]);
if f[x ← 0] = f[x ← 1] then return rstr(f,D[x ← 0]∨D[x ← 1]);
return (¬x∧rstr(f[x ← 0],D[x ← 0]))∨(x∧rstr(f[x ← 1],D[x ← 1]));
}
Figure 38. Fonction “restrict”.
Théorème E.3 Soient f et D deux fonctions booléennes avec D ≠ 0. Alors pour tout ⃗x
tel que D(⃗x) = 1, on a (f⇓D)(⃗x) = f(⃗x).
Théorème E.4 Soient f et D deux fonctions booléennes avec D ≠ 0. L’arbre réduit de
Shannon de (f⇓D) est de taille inférieure ou égale à celui de f.
Preuve. Par induction sur le nombre de variables utilisées dans f et D.
La fonction “restrict” qui opère sur les graphes utilise un cache afin d’éviter les calculs
redondants, d’où une complexité en O(|f|×|D|). Le pendant du Théorème E.4 pour les
graphes n’est évidemment pas vrai. La fonction “restrict” opérant sur les graphes doit
donc comparer les tailles des graphes de f et de (f⇓D) et retourner le plus petit, avec
priorité à celui de (f⇓D). La Figure 39 montre un exemple d’application de l’opérateur
“restrict” sur un arbre réduit de Shannon 1 .
✷
Figure 39. Exemple d’application de l’opérateur “restrict”.
1 Il ne faut pas confondre ⇓ et l’opérateur ↓ présenté Section 4.5.3. Il est vrai que ↓ assure que pour
toute fonction f de ({0,1} m → {0,1}) et toute fonction χ ≠ 0, on a (∀⃗x χ(⃗x) ⇒ (f(⃗x) ⇔ (f↓χ)(⃗x))),
tout comme l’opérateur ⇓ de part le Théorème E.3. Mais ↓ assure en plus que pour toute fonction ⃗ f de
({0,1} m → {0,1} n ) et toute fonction χ ≠ 0, on a Img( ⃗ f,χ) = Img( ⃗ f↓χ,1), ce qui n’est absolument pas
le cas pour ⇓.