Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

B.2. GRAPHE SYMÉTRISÉ 127
B.2 Graphe symétrisé
Une autre idée permettant de compacter le graphe de représentation est d’utiliser un type
qui dénote l’échange de deux branches. Pour toute variable x, on considère la fonction S x
définie sur toute formule f par :
S x (f) = f[x ← (¬x)]
Suposons qu’une formule f s’écrive △(x,L,H) en forme de Shannon, alors la forme de
Shannon de S x (f) est △(x,H,L). Afin de conserver la négation en O(1), on va utiliser la
séparation en fonctions positives et négatives, et ajouter les types “+” et “−”, tels qu’ils
ont été exposés pour les TDGs. Une syntaxe abstraite contenant la forme symétrisée est
la suivante :
< tree > ::= < type >< vertex >
< vertex > ::= △(< var >,< tree >,< tree >)
::= 1
< type > ::= + | − | +S | −S
< var > ::= x 1 | ... | x n
L’interprétation de cette forme exprimée avec la forme de Shannon est la suivante :
+△(x,L,H) = △(x,L,H)
−△(x,L,H) = ¬△(x,L,H)
+S△(x,L,H) = △(x,H,L)
−S△(x,L,H) = ¬△(x,H,L)
Pour assurer la canonicité d’une forme utilisant l’opérateur S, il suffit de disposer d’un
critère pour décider laquelle des deux structures △(x,L,H) ou △(x,H,L) sera prise
comme référence. Soit R une relation d’equivalence sur l’ensemble des fonctions F, et
soit ≤ R un ordre total sur F/R. Pour toute fonction f, on note f R la classe d’équivalence
de f relativement à R. Afin d’obtenir une forme canonique, on peut par exemple imposer
que la branche droite dénote une fonction H, telle que (H R ≤ R L R ), où L est la fonction
dénotée par la branche de gauche.
Une forme canonique possédant une négation en O(1) est par exemple obtenue en
imposant que la branche droite dénote toujours une fonction positive, qui soit inférieure
ou égale à la fonction dénotée par la branche gauche. Avec cette forme, une fonction est
positive si et seulement si elle est soit de type +, soit de type +S avec la branche gauche
positive (notons que c’est alors une fonction de type ++), soit de type −S avec la branche
gauche négative (notons que c’est alors une fonction de type −+). Réciproquement, une
fonction est négative si et seulement si elle soit de type −, soit de type +S avec la branche
gauche négative (notons que c’est alors une fonction de type +−), soit de type −S avec
la branche gauche positive (notons que c’est alors une fonction de type −−).
Une deuxième forme canonique est obtenue en imposant qu’une fonction positive soit
exclusivement dénotée soit par une structure de type +, avec une branche droite positive