Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

2.6. COMPARAISON DES GRAPHES AVEC D’AUTRES REPRÉSENTATIONS 61
peut être décrit ainsi, où x est un symbole propositionel, c un produit, f une somme de
produits, ∨ et ∧ sont commutatifs :
(¬x∨x) → 1
((¬x∧c)∨(x∧c)) → c
(c∨(c∧c ′ )) → c
(¬x∧x) → 0
(0∧c) → 0
(0∨f) → f
(1∨f) → 1
Une somme de produits s’écrit ( ∨ n
k=1 ( ∧ m k
j=1q j k )), où qj k est un littéral. La taille d’une somme
de produits f sera mesurée par le nombre d’occurrences de littéraux dans f (cette mesure
est analogue au nombre de caractères de la formule f), c’est à dire ( ∑ n
k=1 m k ). On a les
résultats suivants :
Théorème 2.21 Sur les sommes de produits, la disjonction est linéaire, et la conjonction
est quadratique. Obtenir une somme de produits représentant la négation d’une somme de
produits f s’effectue en
√
√
O( ) |f|+1
|f| .
Obtenir une somme de produits représentant l’implication, l’équivalence ou la somme exclusive
de deux sommes de produits f et g s’effectue en
√
√
O( ) |f|+|g|+1
|f|+|g| .
Preuve. La disjonction de deux sommes de produits est évidemment linéaire sans simplification,
polynomiale avec simplification. La conjonction des deux expressions
⎛ ⎛ ⎞⎞
n∨ m∧
k
⎝ ⎝ q j ⎠
k
⎠, et
k=1 j=1
⎛ ⎛ ⎞⎞
∨n ′ m
∧
′ k
⎝ ⎝ q ′j ⎠⎠
k
k=1 j=1
conduit à distribuer un produit sur deux sommes, ce qui donne potentiellement une somme
de n × n ′ produits, chacun ayant m i + m ′ j (avec 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n ′ ) littéraux. La
conjonction est donc quadratique. Par exemple, considérons deux sommes de produits
f = ( ∨ n
k=1 x k ) et f ′ = ( ∨ n
k=1 x ′ k), de taille n chacune. Le produit (f ∧f ′ ) s’écrit comme la
somme de produits
⎛
⎞
∨
⎜
⎝ (x k ∧x ′ ⎟
j) ⎠
1≤k≤n
1≤j≤n