Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

82 CHAPITRE 3.
PROBLÈMES SUR LES MACHINES SÉQUENTIELLES
3.5 Conclusion
Nous avons distingué trois grandes problématiques sur les machines séquentielles : la comparaison
de languages générés par deux machines ; la validation de propriétés temporelles
sur une machine ; la réduction et/ou minimisation d’une machime. A partir d’une description
algorithmique d’une machine à états finis, on sait générer un modèle décrit par
des fonctions booléennes. C’est sur ce modèle que nous avons exprimé la résolution des
deux premiers problèmes. Nous avons aussi étudié quelques aspects de la réduction et
minimisation d’une machine.
Les méthodes de résolution proposées dans le passé pour la comparaison de machines et la
validation de propriétés temporelles consistent en un traitement explicite des états et des
transitions, et nécéssitent donc l’énumération de ceux-ci, voire une construction explicite
du graphe d’états et de transitions de la machine. Ces méthodes sont donc limitées par
la taille (i.e. nombre d’états et de transitions) des machines traitées. Plus précisément,
le temps et la mémoire que requièrent ces algorithmes sont linéairement dépendants de la
taille de la machine.
Nous avons montré comment la comparaison de machines et la validation de propriétés
temporelles peuvent être exprimées par des équations booléennes. L’idée est de remplacer
le traitement individuel des états et des transitions par des manipulations de formules
propositionnelles. Celles-ci sont des fonctions caractéristiques dénotant des ensembles
d’états et de transitions. Les algorithmes que nous avons proposés correspondent donc à
des calculs sur des ensembles implicitement représentés. Par exemple, la comparaison de
machines correspond au calcul du plus petit ensemble d’états contenant un sous-ensemble
d’états initiaux, clos par la relation d’accessibilité de la machine. Si il n’y pas de relation
entre la taille de la représentation d’une formule propositionnelle et le nombre d’éléments
qu’elle représente en tant que fonction caractéristique 1 , on peut s’attendre à des algorithmes
de preuve dont la complexité ne dépend pas du nombre d’états et de transitions
de la machine. La complexité sera reportée sur la “complexité intrinsèque” des formules
propositionnelles en présence.
Nous représenterons les fonctions booléennes par des TDGs (graphes de décision typés),
présentés au Chapitre 2. La taille d’un DAG ne dépend pas du nombre d’interprétations
qui le satisfait. Ceci permet, avec les équations booléennes que nous avons décrites, de
nous affranchir de l’étroite dépendance avec la taille de la machine que subissent les techniques
basées sur un parcours explicite du diagramme d’états de la machine. Dans nos
équations boolénnes sont utilisées les combinaisons booléennes usuelles (¬,∨,∧,...), plus
deux opérateurs complexes que nous avons distingué : la comparaison de machines utilise
l’opérateur Img, qui correspond au calcul de l’image d’une fonction, et la validation de
propriétés temporelles utilise l’opérateur Pre, qui correspond au calcul d’une projection
de l’image réciproque d’une fonction. Comme les combinaisons boolénnes usuelles sont effectuées
au pire quadratiquement sur les DAGs, il ne nous reste plus qu’à réaliser le calcul
de Img et Pre pour obtenir deux algorithmes de preuve symboliques, dont les complexités
dépendront de celles de Img et Pre. C’est ce qui constitue la matière des deux chapitres
1 C’est le nombre d’interprétations satisfiant la formule.