Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

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2.4.4 Forme sans quantificateur d’un graphe quantifié . . . . . . . . . . . 55
2.4.5 Résolution d’équations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
2.5 Le problème de l’ordre . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
2.6 Comparaison des graphes avec d’autres représentations . . . . . . . . . . . 60
2.6.1 Graphes et sommes de produits . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 60
2.6.2 Graphes et sommes exclusives de produits . . . . . . . . . . . . . . 62
2.6.3 Verdict : avantage aux graphes de décision! . . . . . . . . . . . . . . 65
2.7 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
II Preuve de systèmes séquentiels 67
3 Problèmes sur les machines séquentielles 69
3.1 Modèle d’une machine séquentielle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
3.2 Comparaison de machines séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
3.2.1 Critères de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.2 Algorithme de comparaison . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
3.2.3 Le terme critique : l’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3 Vérification de propriétés temporelles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
3.3.1 Syntaxe et sémantique de CTL . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
3.3.2 Algorithme de vérification de formules CTL . . . . . . . . . . . . . 76
3.3.3 Le terme critique : l’image réciproque . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
3.4 Minimisation de machines séquentielles . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
3.4.1 Minimisation de la logique combinatoire . . . . . . . . . . . . . . . 80
3.4.2 Elimination des variables d’états redondantes . . . . . . . . . . . . 80
3.4.3 Minimisation des variables d’états par réencodage . . . . . . . . . . 81
3.5 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
4 Calcul de l’image d’une fonction 85
4.1 Difficulté du calcul de Img( ⃗ f,χ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
4.2 Calcul direct de Img( ⃗ f,χ) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
4.3 Décomposition du calcul de l’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
4.4 Restricteur d’image . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92
4.5 L’opérateur “Constrain” . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
4.5.1 Présentation logique de la Plus Proche Interpretation . . . . . . . . 95
4.5.2 Définition topologique de la Plus Proche Interpretation . . . . . . . 97
4.5.3 Définition et évaluation de l’opérateur “Constrain” . . . . . . . . . 99
4.6 Choix d’une couverture . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100
4.6.1 Utilisation d’un partitionnement du co-domaine . . . . . . . . . . . 100
4.6.2 Utilisation d’un partitionnement du domaine . . . . . . . . . . . . . 101
4.7 Résultats expérimentaux et discussion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7.1 L’algorithme final . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
4.7.2 Résultats expérimentaux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
4.8 Conclusion . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107