Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

Annexe E
Réduction et minimisation
E.1 Introduction
Une fonction peut être dénotée en utilisant divers systèmes de représentation : table de
vérité, formule propositionnelle, somme de produits, forme de Reed-Muler, BDD, TDG, ...
Pour chacun de ces systèmes de représentation, on définit un critère de taille. Le problème
de la minimisation consiste à minimiser ce critère de taille dans un espace de fonctions
données à priori.
On s’interessera plus particulièrement à, d’une part, la minimisation des BDDs et
TDGs, car la complexité des algorithmes de combinaison de graphes dépendent des tailles
des graphes ; d’autre part, à la minimisation des sommes de produits, car de leur taille
dépend directement l’efficacité (taille et vitesse du circuit) de l’implémentation d’une fonction
en logique à deux niveaux [25]. Le critère de taille d’une somme de produits sera le
nombre d’occurrences des littéraux. Comme il y a une dépendance linéaire entre le nombre
d’occurrences de littéraux dans une somme de produits et son nombre de caractères,
ce critère est satisfaisant en terme de complexité. Il est aussi satisfaisant comme critère
d’implémentation efficace d’une fonction booléenne par un circuit [26, 109]. Un exposé
détaillé de l’analyse de complexité (complexité dite taille de formule et complexité dite
combinatoire) des fonctions booléennes peut être trouvé dans [109, 57, 125].
Un ensemble de fonctions, comme tout ensemble, peut se représenter soit en extension,
soit en intention. S’il est donné en extension, la minimisation consiste en une énumération
des tailles des fonctions. On n’étudiera donc que les ensembles de fonctions donnés en
intention, ce qui est le cas pour les problèmes pratiques. On trouvera dans l’Annexe D la
présentation et la comparaison de cinq techniques d’expression en intention d’un ensemble
defonctionsbooléennes. Anotreconnaissance, lesproblèmespratiquesdeminimisation en
conception de circuits semblent toujours pouvoir s’exprimer à l’aide de fonctions partielles.
Aussi on se concentrera uniquement sur la minimisation de fonctions partielles.
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