Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

42 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
[1 : x 1 ][2 : x 3 ][3 : x 4 ][4 : x 5 ]10[5 : x 5 ]01[6 : x 4 ][5][4][7 : x 2 ][2][8 : x 3 ][9 : x 4 ][5]1[6] dénote le
graphe de la figure suivante.
Figure 6. Exemple de BDD dénoté par une chaîne.
Un graphe de taille s est ainsi dénoté par une chaîne de taille 2s + 1, constituée de
l’étiquetage des s noeuds (du type [k : x j ]) et des s+1 terminaux (du type 0, 1, ou [k]).
Soit N n s le nombre de BDDs de taille s construits sur n variables. Une majoration de N s
consiste à dénombrer le nombre de chaînes construites sur l’alphabet décrit plus haut, de
taille 2s+1, comprenant s occurrences de symboles [k : x j ]. Il suffit pour cela de choisir
s places parmis 2s+1, d’assigner ces s places à l’une des n variables (l’étiquetage étant
fait par ordre croissant), puis d’assigner les s+1 places restantes aux terminaux 0, 1, ou
[k], avec 1 ≤ k ≤ s−1 (car tout noeud peut être référencé, c’est à dire partagé, sauf la
racine). On a donc :
N n s
≤
( ) 2s+1
n s (s+1) s+1
s
Par la formule de Stirling k! ∼ √ 2πk( k e )k , on obtient un équivalent du terme de droite, ce
qui donne :
N n s
≤
√ e
πs ns 2 s (2s+1) s+1
Ceci permet de majorer asymptotiquement le terme Ns n = ( ∑ s
k=0 Ns), n c’est à dire le
nombre de BDDs de taille inférieure ou égale à s, par le terme de droite de la dernière
inégalité, à une constante c près. En posant s = α 2n , on obtient :
n
N n s
≤ c2 α2n (1+ log 2 4α
n )