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3.4. MINIMISATION DE MACHINES SÉQUENTIELLES 79 De cette façon, on réécrit les équations données précédemment en : EX = Pre( ⃗ f,Cns,F) (3.12) AX = ¬Pre( ⃗ f,Cns,¬F) (3.13) E 0 = G, et (3.14) E k+1 = λ⃗y.(E k (⃗y)∨(F(⃗y)∧Pre( ⃗ f,Cns,E k )(⃗y))). (3.15) A 0 = G, et (3.16) A k+1 (⃗y) = λ⃗y.(A k (⃗y)∨(F(⃗y)∧¬Pre( ⃗ f,Cns,A k )(⃗y))) (3.17) D’unpointdevuecalculatoire, celasignifiequeces5caspeuventêtretraitésenutilisantles opérateurs booléens usuels (¬,∨,∧,...), de complexité polynomiale sur les DAGs, plus le calcul de la fonction Pre. Le coût global de la validation d’une formule temporelle sur une machine séquentielle dépend donc du calcul de Pre. Nous étudierons dans le Chapitre 5 la complexité de cette opération, et nous montrerons qu’elle est non polynomiale. Nous proposerons alors plusieurs techniques d’évaluation de Pre. 3.4 Minimisation de machines séquentielles Ladifficultédelasynthèsedematérielàpartird’unedescriptionfonctionelled’unemachine vient de ce que ce problème recouvre simultanément plusieurs problèmes d’optimisation souvent contradictoires. On doit synthétiser un circuit de taille aussi petite que possible, il faut donc diminuer le nombre de portes logiques et s’attacher à ce que l’assemblage de celles-ci occupe une surface minimale. Le circuit doit être suffisament rapide, il faut donc que les connexions soient les plus courtes possibles, et que la profondeur du circuit (nombre maximal de portes logiques entre les entrées et les sorties) soit la plus faible possible. Il y a des contraintes électriques et de consommation, il faut donc que le nombre deconnexionsàl’entréed’uneporte(fan-in)etàsasortie(fan-out)respectentdesloisbien précises. Si l’implémentation du circuit se fait sur un PLA (Programable Logic Array), fournissant des portes et connexions prédéfinies (à charge de l’utilisateur de construire le circuit en ajoutant ou coupant certaines connexions), il faut aussi tenir compte du cadre non modifiable de cette structure pour l’optimisation des divers critères cités. Cependant,unaspectàpeuprèscommunàtoutescesoptimisationsestlaminimisation logique. Informellement, ceci pose la question de la “quantité” de logique (i.e. le nombre de portes) nécessaire pour implémenter une fonctionnalité donnée, éventuellement vectorielle et/ou séquentielle. Nous expliquons ici quelles sont les minimisations qui peuvent intervenirpourréduirela“complexité”(entermedecircuit, ouplusformellemententerme de complexité combinatoire et séquentielle au sens de [109]) d’une machine séquentielle.
80 CHAPITRE 3. PROBLÈMES SUR LES MACHINES SÉQUENTIELLES 3.4.1 Minimisation de la logique combinatoire La minimisation de la logique combinatoire consiste à trouver un circuit “minimal” implémentant une fonction booléenne donnée. Cette minimalité doit être comprise vis-àvis d’une mesure de complexité. Celle-ci est définie comme le nombre de portes du circuit, où ces portes sont des instances d’un ensemble de fonctions booléennes élémentaires. Le problème de la minimisation combinatoire est évidemment NP–difficile. Nous abordons succintement dans L’Annexe E le problème de la minimisation de fonctions booléennes partielles, et nous proposons plusieurs techniques de réduction, certaines basées sur des réécriture de DAGs, d’autres sur une minimisation de la somme de produits associée. Il faut noter que les techniques de minimisation que nous avons définies ont été reprises par nous-mêmes et d’autres équipes pour améliorer des algorithmes de calcul sur les DAGs, notamment la composition. 3.4.2 Elimination des variables d’états redondantes Le but de l’élimination des variables d’états redondantes est de réduire la mémoire de la machine sans modifier son comportement observable. On dit qu’une variable d’état d’une machine est redondante si elle n’apporte aucune information sur l’état de la machine lorsque celle-ci évolue dans son espace d’états valides. Autrement dit, une variable d’état y k est redondante si et seulement si, pour tout état valide, la valeur de y k est entièrement déterminéeparlavaleurdesautresvariablesd’états. Ceciimpliquequ’ilexisteunefonction desautresvariablesd’étatsquipermetdecalculerlavaleury k surl’espacedesétatsvalides. Valid étant la fonction caractéristique des états valides, nous disons [17] qu’une variable d’état y k est redondante dans le système des n variables d’états y 1 ,...,y n si et seulement si la formule ∀y 1 ...∀y k−1 ∀y k+1 ...∀y n ∃f ∀y k (Valid(⃗y) ⇒ (f ⇔ y n )) est une tautologie. Si tel est le cas, la fonction de Skolem de f donne la fonction de réécriture de y k en fonction des autres variables d’états. En reprenant les résultats acquis au Chapitre 1, et à partir de cette équation, nous montrons [17] que y k est redondante si et seulement si : Valid[y k ← 0]∧Valid[y k ← 1] = 0 Dans ce cas, la fonction de réécriture de y k est la fonction de Skolem définie par : Valid[y k ← 1]∨(p∧¬Valid[y k ← 0]) Ainsi le test de redondance et le calcul de la fonction de réécriture est quadratique par rapport à la taille du DAG de Valid. L’itération aveugle du processus d’élimination (test de redondance et réécriture) que nous avons défini ne conduit pas à une minimisation optimale, comme il a été remarqué dans [86]. En effet, le nombre de variables d’états éliminées dépend de l’ordre dans lequel est effectué l’élimination. Considérons l’exemple suivant, où 5 variables d’états y k codent 4 états s j :
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A mes parents A Toi, si délicieuse
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