Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

Annexe B
Autres graphes typés
Nous présentons ici deux autres représentations des formules booléennes sous la forme de
graphes canoniques typés, les graphes 4–typés, et les graphes symétrisés.
B.1 Graphe 4–typé
La compaction de la représentation des formules propositionnelles présentée Section 2.3.3
peut être poursuivie en enrichissant le type des structures △( , , ), ce qui permet de jouer
sur le codage et la répartition des négations. Considérons par exemple cette forme, que
nous appellerons graphe 4–Typé. Elle utilise les quatres types ++, −+, +−, −−. Une
syntaxe contenant cette forme s’écrit :
< tree > ::= < type >< vertex >
< vertex > ::= △(< var >,< tree >,< tree >)
::= 1
< type > ::= ++ | −+ | +− | −−
< var > ::= x 1 | ... | x n
L’interprétation de ces types exprimée avec la forme de Shannon est la suivante, où L et
H dénotent des fonctions positives :
++△(x,L,H) = △(x,L,H)
−+△(x,L,H) = △(x,¬L,H)
+−△(x,L,H) = △(x,L,¬H)
−−△(x,L,H) = ¬△(x,L,H)
Ainsi la structure △( , , ) permet de représenter 4 fonctions différentes par modification
de son type supérieur.
Une forme canonique peut être obtenue en imposant que tous les sous-arbres stricts
composant un arbre 4–typé dénotent uniquement des fonctions positives. Seul le type de
l’arbre principal permettra d’interpréter correctement la fonction. Intuitivement, le type
d’une fonction f s’écrivant ((¬x∧L)∨(x∧H)) correspond aux cas suivants : si L et H
sont positifs, f est positive de type ++ ; si L est négatif et H positif, f est positive de
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