Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

2.4. MANIPULATIONS DE GRAPHES DE DÉCISION 53
pour 1 ≤ k ≤ n. Les BDDs des fonctions f k sont de taille 3 (de taille 2 pour les TDGs),
donc ( ∑ n
k=1 |f k |) = O(n). On déduit finalement que (|g| + ∑ n
k=1 |f k |) est en O(n). La
composition g(f 1 ,...,f n ) est la fonction λ⃗y.( ∧ n
k=1 f k (⃗y)), qui s’écrit donc
( n
)
∧
λ[y 1 ...y 2n ]. (y k ⇔ y 2n−k+1 )
k=1
Le graphe de la formule ((y 1 ⇔ y 2n ) ∧ (y 2 ⇔ y 2n−1 ) ∧ ... ∧ (y n ⇔ y n+1 )) est en O(2 n ),
comme le montre le Lemme 2.1.
✷
Lemme 2.1 La formule ((y 1 ⇔ y 2n )∧(y 2 ⇔ y 2n−1 )∧...∧(y n ⇔ y n+1 )) possède un graphe
de décision en O(2 n ) pour l’ordre y 1 < y 2 < ... < y 2n .
Preuve. Nous montrons que le BDD de ((y 1 ⇔ y 2n )∧(y 2 ⇔ y 2n−1 )∧...∧(y n ⇔ y n+1 ))
est de taille 3(2 n −1) par récurrence. Une preuve analogue montre que le TDG de cette
formule est de taille 3(2 n −1)−1.
Considérons le graphe t n montré Figure 12. Il utilise 2n variables y 1 < y 2 < ... < y 2n ,
et est totalement expansé sur les n+1 premières variables. Par définition, les 2 n−1 sous
graphes G n j (1 ≤ j ≤ 2 n−1 ) sont tous différents. Soit s n le nombre de noeuds nécessaires
pour représenter ces 2 n−1 sous graphes G n j. La taille de t n est donc (s n + ∑ n+1
k=1 2k−1 ), soit
|t n | = 2 n+1 +s n −1.
On effectue alors le produit de t n avec (a ⇔ b), tel que y n < a < b < y n+1 . Le graphe
de (a ⇔ b) doit être introduit au milieu du graphe t n . On obtient la nouvelle structure de
graphe donnée par la Figure 13.
Cette structure est analogue à celle de t n , à savoir que l’expansion du graphe est faite
sur les n + 2 premières variables (i.e. y 1 ,...,y n ,a,b), et qu’à partir d’un graphe G n j, on
construit les deux graphes G n+1
2j−1 = (¬y n+1 ∧ G n j) et G n+1
2j = (y n+1 ∧ G n j), c’est à dire
G n+1
2j−1 = △(y n+1 ,G n j,0) et G n+1
2j = △(y n+1 ,0,G n j). Les 2 n nouveaux graphes G n+1
j ont un
nombre de noeuds s n+1 = s n +2 n . Donc le graphe t n+1 est de taille 2 n+2 +s n+1 −1.
Pour n = 1, on a s 1 = 0, donc s n = ( ∑ n−1
k=1 2k ), c’est à dire s n = 2 n − 2. Donc la
taille de t n , soit la formule ((y 1 ⇔ y 2n )∧(y 2 ⇔ y 2n−1 )∧... ∧(y n ⇔ y n+1 )), est égale à
2 n+1 +2 n −2−1, c’est à dire 3(2 n −1). ✷
Lacompositionestdoncaumoinsexponentiellesil’ordredesvariablesestfixé. Cependant,
le lecteur pourra objecter que la formule ((y 1 ⇔ y 2n )∧(y 2 ⇔ y 2n−1 )∧...∧(y n ⇔ y n+1 ))
utilisée dans la preuve du Théorème 2.12 possède un graphe en O(n) avec l’ordre
y 1 < y 2n < y 2 < y 2n−1 < ... < y n < y n+1 . On peut alors légitimement se poser la
question suivante : si l’on est capable de modifier dynamiquement l’ordre des variables
de façon à minimiser la taille des graphes manipulés, y-a-t-il un moyen d’obtenir un algorithme
de composition non exponentiel en mémoire? Quelques remarques suffisent pour
répondre par la négative. Premièrement, le problème d’obtenir un “bon ordre”, c’est à
dire un ordre qui minimise la taille du graphe d’une fonction, est lui-même NP–difficile.
Deuxièmement, il existe des fonctions (voir Théorème 2.20, Section 2.5) dont le graphe
est exponentiel vis-à-vis du nombre de variables utilisées, quel que soit l’ordre choisi sur
celles-ci. Pour cette dernière raison, il est certain que la composition reste exponentielle,
même si un oracle était capable de fournir dynamiquement un ordre optimal.