Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

46 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
+△(x,L,H)∨+△(x,L ′ ,H ′ ) → +△(x,L∨L ′ ,H ∨H ′ )
−△(x,L,H)∨+△(x,L ′ ,H ′ ) → +△(x,−L∨L ′ ,−H ∨H ′ )
+△(x,L,H)∨−△(x,L ′ ,H ′ ) → +△(x,L∨−L ′ ,H ∨−H ′ )
−△(x,L,H)∨−△(x,L ′ ,H ′ ) → +△(x,−L∨−L ′ ,−H ∨−H ′ )
(−1)∨t → t
(+1)∨t → +1
Tout comme l’élimination des noeuds redondants et le partage des sous-graphes de la
forme de Shannon conduit à la forme graphique canonique des BDDs, le même processus
de réduction peut être appliqué sur la forme typée de Shannon, conduisant aux
graphes de décision typés, ou TDGs. La Figure 8 montre l’arbre typé réduit de la formule
((x 1 ∧(x 3 ⊕x 4 ))∨(x 2 ∧(x 3 ⇔ x 4 ))), et la Figure 9 montre son TDG associé.
Figure 8. Arbre réduit typé de ((x 1 ∧(x 3 ⊕x 4 ))∨(x 2 ∧(x 3 ⇔ x 4 ))).
Comme les TDGs permettent de partager une fonction et sa négation, ils constituent
une représentation plus dense que les BDDs. Par exemple, la formule (x 1 ⊕x 2 ⊕...⊕x n )
est représentée par un BDD de taille 2n−1 et un TDG de taille n, pour n’importe quel
ordre. Ceci est aussi montré par la Figure 10 qui donne la croissance des BDDs et TDGs
associés aux sorties d’un additionneur n–bits. La croissance des BDDs est en 9n [27] alors
que celle des TDGs est en 5n. Cependant le rapport entre la taille du BDD et celle du
TDG d’une fonction ne peut être supérieur à 2, puisque la forme typée de Shannon ne
permet d’économiser que la construction des fonctions négatives.