Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

2.5. LE PROBLÈME DE L’ORDRE 59
Figure 15. Graphe des fonctions symétriques.
a montré que ce graphe est en O(2 n ) pour l’ordre y 1 < y 2 < y 3 < ... < y 2n . On peut
alors se demander s’il existe un algorithme simple pour trouver un ordre qui minimise la
taille du graphe, puis s’il est toujours possible de trouver un graphe de taille polynomiale
pour chaque fonction. Les deux théorèmes suivants, issus de [28, 12, 13], répondent par la
négative 6 .
Théorème 2.19 Etant donnée une fonction booléenne f, le problème de trouver un ordre
des variables qui minimise la taille du graphe de f est NP–difficile.
Théorème 2.20 Il existe des fonctions booléennes pour lesquelles il n’existe pas d’ordre
permettant d’obtenir un graphe de taille polynomiale.
Il existe un algorithme de complexité O(n 2 3 n ) permettant de déterminer un ordre des n
variables qui minimise le graphe de décision d’une fonction [63]. Cependant, son coût
prohibitif lui fait préférer l’utilisation des nombreuses heuristiques [64, 96, 12, 13] proposées
dans le cadre de la vérification de circuits combinatoires, toutes basées sur l’analyse
topologiqueducircuit. Cependant, aucunedecesheuristiquesn’estsupérieureauxautres:
là où une heuristique donne un bon ordre pour une fonction pour laquelle échouent les
autres heuristiques, il existe réciproquement une fonction sur laquelle la première heuristiquevadonnerunmauvaisordrealorsquelesautressaurontcalculerunordreraisonnable.
Afin de combiner les avantages de chacune de ces heuristiques, il a été proposé [108] de
choisirunmeilleurordreparmiceuxcalculés. Cettetechniquedechoixestbaséesurlaconstruction
partielle des graphes, en bornant par une constante le nombre de noeuds autorisé
pour chaque graphe, et en construisant le graphe en largeur d’abord afin de conserver le
6 Le Théorème 2.20 vient de [28], où il est montré qu’il existe une fonction, réalisée à partir d’un
multiplicateur n bits, dont le BDD est de taille au moins en O(1.09 n ), quel que soit l’ordonnancement des
variables.