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2.4. MANIPULATIONS DE GRAPHES DE DÉCISION 57 ((y 1 ∧c 1 ) ∨ (¬y 1 ∧((y 2 ∧c 2 ) ∨ (¬y 2 ∧((y 3 ∧c 3 ) ∨ ... (¬y n−2 ∧((y n−1 ∧c n−1 ) ∨ (¬y n−1 ∧(¬y n ∨c n )))) ... ))))) Le graphe de g est donné ci-dessous. Comme chaque clause c k est une disjonction de trois littéraux, la taille de g est bornée par 4n, et il peut être facilement construit en O(n). Considérons alors la formule close (∃⃗x ∀⃗y g) qui est construite en O(n). Figure 14. Graphe de g. La Figure 14 montre que la forme sans quantificateur de (∀⃗y g) est ( ∧ n k=1 c k ). Donc la forme sans quantificateur de (∃⃗x ∀⃗y g) est équivalente à (∃⃗x C). Cette formule est égale à 1 si et seulement si C est satisfiable. Comme (∃⃗x ∀⃗y g) est une formule close, on peut calculer sa forme sans quantificateur de la façon suivante : si C est satisfiable, alors (∃⃗x ∀⃗y g) = 1, sinon (∃⃗x ∀⃗y g) = 0. Donc calculer la forme sans quantificateur de la formule close (∃⃗x ∀⃗y g) est NP–difficile. ✷ 2.4.5 Résolution d’équations Il suffit de reprendre les algorithmes définis Section 1.4, et d’étudier leur complexité sur les graphes. Pour une équation à une inconnue (∀y 1 ...∀y n ∃x f) où f est un graphe, la fonction de Skolem de x (si elle existe) est calculée en O(|f| 2 ). Dans le cas particulier où l’ordre sur les variables est tel que {y 1 ,...,y n } < x, la fonction de Skolem est calculée en O(|f|) par l’évaluation du terme solve(f), où solve est définie par : solve(△(y k ,L,H)) = △(y k ,solve(L),solve(H)) solve(△(x,0,1)) = 1 solve(△(x,1,0)) = 0 solve(1) = △(p,0,1)
58 CHAPITRE 2. REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES Pour une équation quelconque, la résolution est évidemment non polynomiale en général, puisque le calcul d’une forme sans quantificateur d’un graphe est lui-même un problème non polynomial. Dans le cas particulier d’une équation du type (∀y 1 ...∀y n ∃x 1 ...∃x m f) où f est un graphe, ce qui correspond au cas de l’unification booléenne [119, 24], avec {y 1 ,...,y n } < {x 1 ,...,x m }, les m fonctions de Skolem sont calculées en O(m × |f|), et chacune d’entre elles a une taille en O(|f|). 2.5 Le problème de l’ordre Un ordre fixé des variables assure la canonicité des BDDs et TDGs. Mais la taille du graphe d’une formule dépend de cet ordre. Nous étudions ici l’influence de l’ordre des variables sur la taille des graphes. Considérons une permutation π des n premiers entiers. Pour toute formule f, on note f π la formule obtenue à partir de f par renommage des variables x k en x π(k) . Soit V π la fonction λ[x 1 ...x n ].[x π(1) ...x π(1) ]. A une fonction λ⃗x.f de n variables, on peut associer n! réécritures de la forme (λ⃗x.f π )◦V π −1. On peut représenter f par le graphe de f π modulo la permutation π, c’est à dire modulo l’ordre sur les variables. Les graphes des n! formules f π possibles n’ont évidemment pas tous la même taille, et on a vu qu’en choisissant un mauvais ordre sur les variables, on peut faire croître dramatiquement la taille du graphe d’une fonction. Il importe donc de bien choisir l’ordre d’expansion des variables. Il existe des classes de fonctions insensibles à l’ordre, comme les fonctions symétriques : Théorème 2.18 Le graphe d’une fonction symétrique de n variables est de taille majorée par n 2 /2, quel que soit l’ordre des variables. Preuve. Soit f une fonction symétrique de n variables. Comme f est symétrique, pour toute permutation π des n premiers entiers, on a f(x 1 ,...,x n ) = f(x π(1) ,...,x π(n) ). Ceci garantit que la taille du graphe de f est insensible à l’ordre. Montrons maintenant qu’il est de taille bornée par n 2 /2. Comme f est symétrique, la valeur de f(x 1 ,...,x n ) ne dépend que du nombre de valeurs 1 prises par les variables x 1 ,...,x n . Ainsi une fonction symétrique de n variables est entièrement décrite en donnant sa valeur v k lorsque exactement k de ses variables prennent la valeur 1, ceci pour 0 ≤ k ≤ n : f(1,...,1,0,...,0) = v } {{ } } {{ } k k n−k Le graphe non complètement réduit de cette fonction est la structure G 1 1, où G k j = △(x k ,G k+1 j ,G k+1 j+1) pour 1 ≤ j ≤ k ≤ n, et G n+1 j = v j−1 pour 1 ≤ j ≤ n + 1. Ce graphe est donné Figure 15. La taille du graphe réduit correspondant, obtenu en remplaçant les feuilles v k par les constantes 0 ou 1, est évidemment bornée par n(n−1) . ✷ 2 D’un autre coté, la croissance des graphes décrivant les sorties de l’additionneur n–bits est linéaire en fonction de n dans le meilleur des cas, mais elle est exponentielle dans le pire des cas [27]. Plus directement, ((y 1 ⇔ y 2n )∧(y 2 ⇔ y 2n−1 )∧...∧(y n ⇔ y n+1 )) a un graphe en O(n) pour l’ordre y 1 < y 2n < y 2 < y 2n−1 < ... < y n−1 < y n , mais le Lemme 2.1
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4.8. CONCLUSION 107 4.8 Conclusion
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Chapitre 5 Calcul de l’image réc
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5.3. EVALUATION DE PRE( ⃗ F,CNS,
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CONCLUSION 119 Conclusion Lavérifi
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136 ANNEXE D. ENSEMBLE DE FONCTIONS
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144 BIBLIOGRAPHIE [14] G. Berry,
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