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126 ANNEXE B. AUTRES GRAPHES TYPÉS
type −+ ; si L est positif et H négatif, f est négative de type +− ; enfin si L et H sont
négatifs, f est négative de type −−. Ainsi une fonction est positive si et seulement si elle
est de type ++ ou −+, ce seront donc les seuls types autorisés pour les sous-arbres stricts,
les types +− et −− dénotant des fonctions négatives ne pouvant apparaître qu’à la racine
de l’arbre principal. La forme 4–typée d’un arbre de Shannon t s’obtient en évaluant le
terme Type(t), où la fonction Type est définie par :
Type(△(x,L,H)) = TypeUp(x,Type(L),Type(H))
Type(1) = ++1
Type(0) = −−1
TypeUp(x,++L,++H) = ++△(x,++L,++H)
TypeUp(x,−+L,++H) = ++△(x,−+L,++H)
TypeUp(x,+−L,++H) = −+△(x,−+L,++H)
TypeUp(x,−−L,++H) = −+△(x,++L,++H)
TypeUp(x,++L,−+H) = ++△(x,++L,−+H)
TypeUp(x,−+L,−+H) = ++△(x,−+L,−+H)
TypeUp(x,+−L,−+H) = −+△(x,−+L,−+H)
TypeUp(x,−−L,−+H) = −+△(x,++L,−+H)
TypeUp(x,++L,+−H) = +−△(x,++L,−+H)
TypeUp(x,−+L,+−H) = +−△(x,−+L,−+H)
TypeUp(x,+−L,+−H) = −−△(x,−+L,−+H)
TypeUp(x,−−L,+−H) = −−△(x,++L,−+H)
TypeUp(x,++L,−−H) = +−△(x,++L,++H)
TypeUp(x,−+L,−−H) = +−△(x,−+L,++H)
TypeUp(x,+−L,−−H) = −−△(x,−+L,++H)
TypeUp(x,−−L,−−H) = −−△(x,++L,++H)
La négation en O(1) est conservée, par les règles suivantes :
¬t → −t
−++ → −−
−−+ → +−
−+− → −+
−−− → ++
L’élimination des noeuds redondants et le partage des sous-graphes de cet arbre
4–typé conduit à une forme graphique canonique plus dense que les BDDs et les TDGs.
Cependant le rapport entre la taille du BDD (respectivement du TDG) et celle du graphe
4–typé d’une fonction ne peut être supérieur à 2 (respectivement 4), puisque la forme
4–typée ne représente explicitement que des fonctions positives, au type supérieur près.