Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

2.4. MANIPULATIONS DE GRAPHES DE DÉCISION 51
Théorème 2.9 Soient f et g deux graphes de décision binaires. La complexité du calcul
du graphe de décision binaire de (¬f) est en O(|f|), celui du graphe de décision binaire de
(f ⋆g) est en O(|f|×|g|), où ⋆ est un opérateur booléen diadique quelconque (par exemple
∨,∧,⇒,⇔, ou ⊕).
Preuve. La négation d’un BDD f nécessite une recopie de celui-ci avec inversion des
feuilles, d’où une négation en O(|f|). Nous avons vu que l’obtention du BDD de (f ⋆g)
requiert au plus |f|×|g| applications de la règle 2.12. Montrons maintenant que la taille
du BDD de (f ⋆ g) est en O(|f| × |g|). Cette preuve est due à Bryant [28]. Par nature,
la taille du BDD de (f ⋆ g) est bornée par |f| × |g|. Considérons maintenant 2n + 2m
variables x 1 < ... < x 2n+2m . Soient les formules
f =
g =
(
∨ n
)
(x k ∧x n+m+k ) et (2.14)
k=1
(
∨ m
)
(x n+k ∧x 2n+m+k ) . (2.15)
k=1
Leurs BDDs ont respectivement les tailles 2 n+1 et 2 m+1 . On a :
f ∨g =
( n+m
) ∨
(x k ∧x n+m+k ) ,
k=1
dont le BDD est de taille 2 n+m+1 , c’est à dire (|f| × |g|)/2. La complexité du calcul de
(f ⋆g) est donc en O(|f|×|g|) pour l’application des opérateurs booléens ∨,∧,⇒,⇔,⊕.
✷
Théorème 2.10 Soient f et g deux graphes de décision typés. La complexité du calcul
du graphe de décision typé de (¬f) est en O(1), celui du graphe de décision typé de (f⋆g)
est en O(|f|×|g|), où ⋆ est un opérateur booléen quelconque.
Les opérateurs booléens usuels ont donc des coûts tout à fait raisonnables sur les
graphes, puisque polynomiaux par rapport aux tailles des graphes. Pour implémenter
l’évaluation d’une fonction n–aire g, il suffit de généraliser l’opération ⋆ au cas n–aire, et
donner les réécritures de g dans les cas terminaux (potentiellement 2 n cas terminaux sont
nécessaires pour décrire complètement g). La complexité de l’évaluation de g(f 1 ,...,f n )
sera finalement bornée par O( ∏ n
k=1 |f k |). En résumé, l’évaluation d’une opération n–aire
implémentée “en dur” se fait au pire polynomialement de degré n.
2.4.3 Composition de graphes de décision
Nous abordons ici l’évaluation de g(f 1 ,...,f n ) dans le cas où g est donnée sous la forme
d’un graphe. Nous étudions d’abord la substitution d’une variable d’un graphe par un
autre graphe, puis le problème de la composition en général.
D’après la règle 2.13, la substitution d’une variable dans un graphe g par un graphe
f s’effectue avec une complexité bornée par O(|g| 2 × |f|). D’un autre coté, il est clair