Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

86 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION
Soit χ = Img( f,1). ⃗ Evaluer le terme χ(1,...,1) se fait en O(n). Or C est satisfiable si et
seulement si χ(1,...,1) = 1, donc calculer χ est NP–difficile.
✷
Théorème 4.2 Le problème de la composition se réduit à celui du calcul de l’image.
Preuve. Rappelons que ⃗x = [x 1 ...x m ], et ⃗y = [y 1 ...y n ]. Soient les DAGs des fonctions
λ⃗x.f 1 (⃗x), ..., λ⃗x.f n (⃗x), et λ⃗y.g(⃗y). Le problème de la composition consiste à calculer le
DAG de la fonction λ⃗x.(g(f 1 (⃗x),...,f n (⃗x)). Soit la fonction vectorielle ⃗ F définie par :
⃗F = λ(⃗x@⃗y).[x 1 ... x m (y 1 ⇔ f 1 (⃗x)) ... (y n ⇔ f n (⃗x)) g(⃗y)].
Les DAGs de F ⃗ se construisent en O(m+|g|+ ∑ n
k=1 |f k |). On a :
(
Img( F,1) ⃗ m
)
∧
= λ[z 1 ...z m+n+1 ].(∃⃗x ∃⃗y (z k ⇔ x k ) ∧
k=1
(
∧ n
)
(z m+k ⇔ (y k ⇔ f k (⃗x))) ∧
k=1
(z m+n+1 ⇔ g(⃗y)))
On a donc :
(
Img( F,1)(z ⃗ m
(
∧ n
)
∧
1 ,...,z m ,1,...,1) = ∃⃗x ∃⃗y z k ⇔ x k
)∧ y k ⇔ f k (⃗x) ∧g(⃗y)
k=1 k=1
( n
)
∧
= ∃⃗y (y k ⇔ f k (z 1 ,...,z m )) ∧g(⃗y)
k=1
= g(f 1 (z 1 ,...,z m ),...,f n (z 1 ,...,z m ))
La composition g(f 1 ,...,f n ) est égale à λ[x 1 ...x m ].Img( ⃗ F,1)(x 1 ,...,x m ,1,...,1). Ce
dernier DAG se calcule en O(|Img( ⃗ F,1)|), ou même en O(n) si le DAG de Img( ⃗ F,1)
sur le système {z 1 ,...,z m ,z m+1 ,...,z m+n ,z m+n+1 } est ordonné de telle façon que
{z m+1 ,...,z m+n ,z m+n+1 } < {z 1 ,...,z m }. ✷
Le Théorème 4.2 montre que la composition se réduit polynomialement au calcul de
l’image. Les remarques faites Section 2.4.3 sur la complexité de la composition sont donc
applicables. Le calcul de l’image est au moins exponentiel en mémoire dans le pire des
cas pour un ordre fixé. Même si un oracle donnait dynamiquement un bon ordre des
variables minimisant les DAGs des fonctions manipulées, le calcul de l’image reste au
moins exponentiel en mémoire dans le pire des cas.
Ces résultats de complexité exponentielle sont obtenus vis-à-vis de la mémoire
nécessaire pour construire le DAG de Img( ⃗ f,χ). On peut s’interroger sur la complexité
de problèmes faisant intervenir le calcul de l’image avec une sortie bornée (par exemple
un problème dont la réponse est “vrai” ou “faux”). Déterminer si Img( ⃗ f,1) = 1 pour
une fonction vectorielle ⃗ f donnée est un de ces problèmes, et un des plus intéressants,
car il permettrait d’accélérer considérablement le calcul de l’image (voir Section 4.3 sur
l’utilisation du cache). Cependant, les théorèmes suivants affirment la non polynomialité
de ce test.