Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

1.1. FORMULES PROPOSITIONNELLES QUANTIFIÉES 19
Une deuxième définition est basée sur la sémantique des formules, en posant (f = B g)
si et seulement si f et g dénotent la même fonction. On peut montrer, en utilisant le
théorème de complétude [54], que ceci est équivalent à dire que la formule (f ⇔ g) est une
tautologie ou un théorème.
Une troisième présentation consiste à donner directement la définition de = B sous la
forme d’une théorie équationnelle [73], ou bien d’un système de réécriture. Voici une
définition équationnelle [73] :
¬¬f = B f
(f ∨g) = B (g ∨f)
((f ∨g)∨h) = B (f ∨(g ∨h))
¬(f ∨g) = B ¬f ∧¬g
¬(f ∧g) = B ¬f ∨¬g
f ∧(g ∨h) = B (f ∧g)∨(f ∧h)
f ∨(g ∧h) = B (f ∨g)∧(f ∨h)
1.1.4 Formules propositionnelles et fonctions booléennes
On appelle fonction booléenne une fonction de {0,1} n dans {0,1}. Nous avons vu dans
la Section 1.1.2 qu’une formule propositionnelle f dénote une unique fonction booléenne
λi.i(f) de {0,1} |V| dans {0, 1}. Réciproquement, le théorème suivant indique que toute
fonction booléenne est dénotée par au moins une formule.
Théorème 1.1 Pour tout n entier fini et toute fonction h de {0,1} n dans {0,1}, il existe
une formule propositionnelle sans quantificateur f telle que h = λi.i(f).
Preuve. Pour tout élément v = (v 1 ,...,v n ) de l’ensemble {0,1} n , on définit la formule
g v = (ε 1 (x 1 ) ∧ ε 2 (x 2 ) ∧ ... ∧ ε n (x n )), avec ε k (x k ) = x k si v k = 1, et ε k (x k ) = ¬x k sinon.
g v dénote une fonction de {0,1} n → {0,1} qui prend partout la valeur 0 sauf en v. Soient
alorslesformulesh v définiespourtoutélémentv de{0,1} n parh v = (¬x 1 ∧x 1 )sih(v) = 0,
et h v = (¬x 1 ∨x 1 ) si h(v) = 1. Soit f la formule propositionnelle définie par :
⎛ ⎞
f = ⎝ ∨
(g v ∧h v ) ⎠.
v∈{0,1} n
On peut alors vérifier que i(f) = h(i(x 1 ),...,i(x n )) pour toute interprétation i. La formule
f est composée de O(n×2 n ) caractères, donc f est une formule finie quand n est fini. ✷
Puisque toute fonction booléenne peut être dénotée par au moins une formule sans
quantificateur, on en déduit que toute formule propositionnelle avec quantificateurs est
équivalente, i.e. égale au sens de = B , à une formule sans quantificateur. On appellera
forme sans quantificateur d’une formule quantifiée une formule sans quantificateur qui lui
est équivalente.
Comme une formule propositionnelle dénote une unique fonction booléenne, et qu’une
fonction booléenne est dénotée par des formules propositionnelles toutes équivalentes entre