Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

4.5.
L’OPÉRATEUR “CONSTRAIN” 99
Comme (⃗x n ) n>0 est dans S, la suite (χ(⃗x n )) n>0 est constante et égale à 1, donc
lim n→∞
χ(⃗x n ) = 1, et donc la borne inférieure x min satisfait χ.
✷
On peut ainsi donner une deuxième définition de la Plus Proche Interpretation, et
montrer facilement qu’elle est équivalente à celle donnée par la définition 4.2.
Définition 4.3 Soit une fonction χ ≠ 0, et une interprétation ⃗x. L’unique interprétation
notée PPI(χ,⃗x) est la plus proche interprétation de ⃗x, au sens de d, qui satisfait χ.
4.5.3 Définition et évaluation de l’opérateur “Constrain”
Définition 4.4 Nous définissons l’opérateur “constrain” , noté “↓”, comme :
↓ = λ ⃗ f.λχ.λ⃗x. ⃗ f(PPI(χ,⃗x)).
On montre facilement que PPI est un projecteur strict, donc que “↓” est un restricteur
d’image strict. L’algorithme ci-dessous calcule le graphe de λ⃗x.f(PPI(χ,⃗x)) à partir des
graphes des deux fonctions f et χ [44]. Cet algorithme utilise la définition 4.2 de PPI, et il
exploite les propriétés des restricteurs d’image stricts données par le Théorème 4.11. Si un
cache est utilisé pour éviter les calculs redondants, alors sa complexité est en O(|f|×|χ|).
Etant donné un vecteur ⃗ f = [f 1 ...f n ], le calcul de ( ⃗ f↓χ) est effectué en construisant le
vecteur [(f 1 ↓χ) ... (f n ↓χ)], ce qui est fait en O(| ⃗ f|×|χ|).
function constrain(f,χ) : TDG;
if χ = 0 then error;
return cnst(f,χ);
function cnst(f,χ) : TDG;
if χ = 1 or f = 0 or f = 1 then return f;
if f = χ then return 1;
if f = ¬χ then return 0;
let x = χ.root in {
if χ[x ← 0] = 0 then return cnst(f[x ← 1],χ[x ← 1]);
if χ[x ← 1] = 0 then return cnst(f[x ← 0],χ[x ← 0]);
return (¬x∧cnst(f[x ← 0],χ[x ← 0]))∨(x∧cnst(f[x ← 1],χ[x ← 1]));
}
Figure 27. Fonction “constrain”.
LaFigure28montreunexempled’applicationdel’opérateur“constrain”surdesarbres
réduits de Shannon, et la Table 4 montre comment les valeurs de ⃗x, ⃗ f(⃗x), et PPI(χ,⃗x)
sont implicitement combinées pour mener à ( ⃗ f↓χ)(⃗x) = ⃗ f(PPI(χ,⃗x)). On vérifie aussi
que Img( ⃗ f,χ) et Img( ⃗ f↓χ,1) sont égaux à λ⃗y.(¬y 2 ∧((¬y 1 ∧(⃗y 3 ∨y 4 ))∨(y 1 ∧¬y 3 ∧y 4 ))),
qui dénote l’ensemble {[0001],[0010],[0011],[1001]}.