Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

44 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
positive ; la fonction 0 est négative ; pour toute fonction f et toute variable x, f est
positive (respectivement négative) si et seulement si la fonction f[x ← 1] est positive
(respectivement négative). On dénote alors explicitement le type d’une fonction par le
type de son arbre associé.
L’arbre typé de Shannon d’un arbre de Shannon t s’obtient par évaluation de Type(t),
où la fonction Type est définie par :
Type(△(x,L,H)) = TypeUp(x,Type(L),Type(H))
Type(0) = −1
Type(1) = +1
TypeUp(x,+L,+H) = +△(x,+L,+H)
TypeUp(x,−L,+H) = +△(x,−L,+H)
TypeUp(x,+L,−H) = −△(x,−L,+H)
TypeUp(x,−L,−H) = −△(x,+L,+H)
On montre que ce système est canonique parce qu’il n’autorise l’occurrence du type négatif
que sur les branches gauches. La Figure 7 montre l’arbre typé de Shannon de la formule
((x 1 ∧(x 3 ⊕x 4 ))∨(x 2 ∧(x 3 ⇔ x 4 ))).
Figure 7. Arbre de décision typé de ((x 1 ∧(x 3 ⊕x 4 ))∨(x 2 ∧(x 3 ⇔ x 4 ))).
La propriété fondamentale des arbres typés de Shannon, en plus de leur canonicité, est
la négation en O(1). Pour obtenir l’arbre typé de Shannon de (¬f), il suffit d’inverser le
type de l’arbre typé de Shannon de f, c’est à dire que la négation sur les arbres typés de
Shannon s’exprime par les règles :
(¬t) → −t
−+ → −
−− → +