Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

2.6. COMPARAISON DES GRAPHES AVEC D’AUTRES REPRÉSENTATIONS 65
2.6.3 Verdict : avantage aux graphes de décision!
Résumons tout d’abord la situation pour les formes canoniques graphiques : la négation
s’effectue linéairement avec les BDDs, en O(1) pour les trois formes typés ; les combinaisons
élémentaires sont quadratiques sur toutes les formes graphiques ; la composition,
l’élimination des quantificateurs, et la résolution d’équations sont non polynomiales. Il
y un rapport borné par 2 (respectivement par 4) entre un BDD et le TDG (respectivement
le graphe 4–typé ou symétrisé) équivalent. La Table 2 présente divers critères de
comparaison pour la somme de produits, la forme de Reed-Muller, et le TDG.
SumOfProduct Reed-Muller TDG
Calcul de f O(|f|×2 |f| ) O(|f|×2 |f| ) O(2 |f| )
Satisfiabilité NP–complet O(1) O(1)
Tautologie NP–complet O(1) O(1)
√
√
¬f O( |f|+1
|f|
O(1) O(1)
√
√
f ⇒ g O( |f|+|g|+1
|f|+|g| O ( |f|×|g|×log(|f|×|g|) ) O(|f|×|g|)
√
√
f ⇔ g O( |f|+|g|+1
|f|+|g| O ( (|f|+|g|)log(|f|+|g|) ) O(|f|×|g|)
√
√
f ⊕g O( |f|+|g|+1
|f|+|g| O ( (|f|+|g|)log(|f|+|g|) ) O(|f|×|g|)
f ∧g O(|f|×|g|) O ( |f|×|g|×log(|f|×|g|) ) O(|f|×|g|)
f ∨g O(|f|+|g|) O ( |f|×|g|×log(|f|×|g|) ) O(|f|×|g|)
∃x f O(|f|) O(|f| 2 ×log|f|) O(|f| 2 )
∃⃗x f O(|f|) O ( |f|×2 |f|) O ( √|f|
2
)
∀x f O(|f| 2 ) O(|f| 2 ×log|f|) O(|f| 2 )
∀⃗x f O(2 |f| ) O ( |f|×2 |f|) O ( √|f|
2
)
taille max. n2 n n2 n−1 O ( 2 n n
)
répartition
> 2n
log 2 n p.p.
> 2n
log 2 n p.p.
> 2n n p.p.
Table 2. Comparaison des somme de produits, forme de Reed-Muller, et TDG.