Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

96 CHAPITRE 4. CALCUL DE L’IMAGE D’UNE FONCTION
avec la validité de (℘ j−1 ), on obtient que (∀y m ¬χ(x 1 ,...,x m−2 ,¬x m−1 ,y m )) est valide.
On en déduit que la formule (∀y m−1 ∀y m ¬χ(x 1 ,...,x m−2 ,y m−1 ,y m )) est valide.
En poursuivant ce raisonnement pour j décroissant, on montre que la formule
(∀y 1 ...∀y m ¬χ(y 1 ,...,y m )) est valide, c’est à dire que χ = 0, ce qui est contradictoire.
Donc un tel indice k existe.
Supposons maintenant qu’il existe deux indices k et k ′ satisfaisant la propriété donnée.
La formule (∀y k+1 ...∀y m ¬χ(x 1 ,...,x k ,y k+1 ,...,y m )) est valide par définition de k, ainsi
que la formule (∃y k ′ +1...∃y m
χ(x 1 ,...,x k ′ −1,¬x k ′,y k ′ +1,...,y m )) par définition de k ′ , ce
qui implique que (∃y k ′...∃y m
χ(x 1 ,...,x k ′ −1,y k ′,...,y m )) est valide. Donc on doit avoir
k ′ < k +1. De la même façon, on obtient k < k ′ +1, d’où k = k ′ . ✷
A partir de ce lemme, nous définissons la suite de points (⃗x n ) n≥0 , associée à un point
⃗x = (x 1 ,x 2 ,...) de {0,1} ℵ et une fonction χ ≠ 0, par :
• ⃗x 0 = ⃗x
• si ⃗x n satisfait χ, alors ⃗x n+1 = ⃗x n
• si ⃗x n = (x n 1,x n 2,...) ne satisfait pas χ, alors comme χ ≠ 0, le Lemme 4.1 nous assure
qu’il existe un unique indice k tel que
(∀y k+1 ...∀y m ¬χ(x n 1,...,x n k,y k+1 ,...,y m )),
(∃y k+1 ...∃y m
χ(x n 1,...,x n k−1,¬x n k,y k+1 ,...,y m )).
On pose alors : ⃗x n+1 = (x n 1,x n 2,...,x n k−1,¬x n k,x n k+1,...).
Théorème 4.12 Etant donnée une formule finie χ ≠ 0 et un point ⃗x de {0,1} ℵ , la suite
(⃗x n ) n≥m associée à ⃗x est constante, et est telle que χ(⃗x m ) = 1.
Preuve. Si il existe un indice n tel que n < m et que ⃗x n satisfait χ, alors par définition
la suite de points devient constante et ⃗x m satisfait χ. Supposons maintenant que pour les
indices n, n < m, les points ⃗x n ne satisfont pas χ. Quand ⃗x n ne satisfait pas χ, ⃗x n+1 est
obtenue en inversant la k–ième composante de ⃗x n , où l’indice k est défini de façon unique
par le Lemme 4.1. Soit ⃗x n = (x n 1,x n 2,...) et ⃗x n+1 = (x n 1,x n 2,...,x n k−1,¬x n k,x n k+1,...).
Si ⃗x n+1 ne satisfait pas χ, on doit trouver l’indice k ′ permettant de calculer ⃗x n+2 . Par
définition de k, la formule
(∃y k+1 ...∃y m
χ(x n 1,...,x n k−1,¬x n k,y k+1 ,...,y m ))
est valide. Ceci implique que pour k ′ < k, la formule
est une antilogie, ainsi que la formule
(∀y k ′ +1...∀y m ¬χ(x n 1,...,x n k ′,y k ′ +1,...,y m ))
(∀y k ′ +1...∀y m ¬χ(x n 1,...,x n k−1,¬x n k,y k ′ +1,...,y m ))
pour k ′ = k. Comme k ′ est tel que (∀y k ′ +1...∀y m ¬χ(x n 1,...,y k ′ +1,...,y m )), on doit
avoir k ′ > k. Notons Ind(⃗x n ) l’indice k qui est utilisé pour calculer ⃗x n+1 à partir de ⃗x n .
On a Ind(⃗x n ) ≤ m, et nous venons de montrer que Ind(⃗x n+1 ) > Ind(⃗x n ), c’est à dire
et