Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

56 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
analogue à celle utilisée dans le théorème précédent. On part donc d’une formule f de
taille (2 n −1)+(2 n ×2 n+1 ), c’est à dire 2 2n+1 +2 n −1. Cette formule contient n+(2 n ×2n)
variables, c’est à dire n(2 n+1 +1) variables. La forme sans quantificateur f 1 de la formule
(∃x n f)estdetaille(2 n−1 −1)+(2 n−1 ×2 2n+1 ). Laformesansquantificateurf 2 delaformule
(∃x n−1 ∃x n f) est de taille (2 n−2 −1)+(2 n−2 ×2 4n+1 ). Par une récurrence immédiate, on
montre que la forme sans quantificateur f k de la formule (∃x n−k+1 ...∃x n f) est de taille
(2 n−k −1)+(2 n−k ×2 n2k +1 ). On en déduit la taille de la forme sans quantificateur f n de
(∃x 1 ...∃x n f) :
On peut alors montrer que
|∃x 1 ...∃x n f| = 2 n2n +1 .
|∃⃗x f| = O(|f| n2n
2n+1 ).
En particulier, |∃⃗x f| > 2 |f|1/2 . Donc l’élimination est non polynomiale vis-à-vis de la
taille du graphe initial. La formule initiale contient v = n(2 n+1 +1) variables. On a donc
|∃⃗x f| > 2 v/4 . L’élimination est donc aussi exponentielle vis-à-vis du nombre de variables
utilisées.
✷
La forme sans quantificateur d’une formule close, c’est à dire une formule dont toutes
les variables sont quantifiées, est obligatoirement 0 ou 1. Comme le résultat est de taille
constante, onpeutsedemandersiletest(oulecalcul)portantsurlaformesansquantificateur
d’un graphe (ou d’un graphe clos) est un problème plus façile. Il n’en est évidemment
rien dans le cas général, comme le montre le Théorème 2.17.
Théorème 2.15 Soit f un graphe quelconque. Tester si (∀x 1 ...∀x n f) = 1, ou si
(∃x 1 ...∃x n f) = 0, se fait en O(1).
Preuve. (∀x 1 ...∀x n f) = 1 si et seulement si f = 1, et (∃x 1 ...∃x n f) = 0 si et seulement
si f = 0. Comme les graphes sont canoniques, le résultat est immédiat. ✷
Théorème 2.16 Soit f(x 1 ,...,x n ) un graphe de n variables x 1 ,...,x n . Calculer les
formes sans quantificateur des formules closes (∀x 1 ...∀x n f) et (∃x 1 ...∃x n f) se fait
en O(1).
Preuve. La forme sans quantificateur d’une formule close est la constante 0 ou 1. On a
(∀x 1 ...∀x n f) = 1 si et seulement si f = 1, et (∃x 1 ...∃x n f) = 0 si et seulement si f = 0.
Comme le graphe de f est une forme canonique, le résultat est immédiat. ✷
Théorème 2.17 Soit f(x 1 ,...,x n ) un graphe de n variables x 1 ,...,x n . Calculer la forme
sans quantificateur du terme clos (Q 1 x 1 ...Q n x n f) est NP–difficile.
Preuve. Soit C = ( ∧ n
k=1 c k ) une 3–forme normale conjonctive composée de n clauses c k .
Soitnvariablesy 1 ,...,y n inférieuresàtouteslesvariables(quel’ondénoteraparlevecteur
⃗x) apparaissant dans C. Soit g le graphe de la formule