Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

2.4. MANIPULATIONS DE GRAPHES DE DÉCISION 49
On peut distinguer deux techniques pour évaluer les combinaisons booléennes usuelles
¬,∨,∧,⇒,⇔,⊕. La première exprime ces combinaisons en fonction d’un opérateur triadique
[27], que nous noterons ifn. Intuitivement, ifn réalise un ifnot–then–else, c’est à
dire que ifn(f,g,h) = ((¬f ∧g)∨(f ∧h)). A partir de cet opérateur, on peut définir les
règles de combinaison suivantes sur les BDDs :
ifn(0,t, ) → t
ifn(1, ,t) → t
(k = min ≼ (t,t ′ ,t ′′ )) ⇒ (2.12)
ifn(t,t ′ ,t ′′ ) → △(x k ,ifn(t [xk ←0],t ′ [x k ←0],t ′′
[x k ←0]),ifn(t [xk ←1],t ′ [x k ←1],t ′′
[x k ←1]))
△(x k ,L, ) [xk ←0] → L
△(x k , ,H) [xk ←1] → H
(x k ≺ t) ⇒
t [xk ← ] → t
(k > j) ⇒
△(x j ,L,H) [xk ←v] → △(x j ,L [xk ←v],H [xk ←v])
¬t → ifn(t,0,1)
t∨t ′ → ifn(t,t ′ ,1)
t∧t ′ → ifn(t,0,t ′ )
t ⇒ t ′ → ifn(t,1,t ′ )
t ⇔ t ′ → ifn(t,¬t ′ ,t ′ )
t⊕t ′ → ifn(t,t ′ ,¬t ′ )
(∃x k t) → ifn(t [xk ←1],t [xk ←0],1)
(∀x k t) → ifn(t [xk ←1],0,t [xk ←0])
t[x k ← t ′ ] → ifn(t ′ ,t [xk ←0],t [xk ←1]) (2.13)
A ce système on ajoute les identités suivantes qui permettent d’accélérer le calcul :
ifn( ,t,t) → t
ifn(t,0,1) → t
ifn(t,t,1) → t
ifn(t,0,t) → t
ifn(t,t,0) → 0
ifn(t,1,t) → 1
L’évaluationdutermeifn(f,g,h)requiertauplus|f|×|g|×|h|applicationsdelarègle2.12
avant d’atteindre les règles terminales. La complexité de l’évaluation de ifn(f,g,h) est
donc majorée par O(|f|×|g|×|h|). La négation est faite en O(|f|), donc les opérations
usuelles voient leur complexité bornée par une fonction quadratique. On montrera dans
le Théorème 2.9 que le pire cas, c’est à dire quadratique, est effectivement atteint.