Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

64 CHAPITRE 2.
REPRÉSENTATION DES FORMULES PROPOSITIONNELLES
Théorème 2.23 La négation sur la forme de Reed-Muller est en O(1). L’obtention de la
forme de Reed-Muler de l’equivalence ou la somme exclusive de deux formes de Reed-Muller
f et g est en
O ( (|f|+|g|)log(|f|+|g|) ) .
La conjonction, la disjonction ou l’implication de deux formes de Reed-Muller f et g est
en
O ( |f|×|g|×log(|f|×|g|) ) .
Preuve. Calculer la négation d’une somme exclusive de produits consiste à appliquer les
règles suivantes, ce qui s’effectue en O(1) :
¬f → 1⊕f
1⊕1 → 0
0⊕f → f
Calculer la somme exclusive de deux formes de Reed-Muller f et g consiste à appliquer
les règles de simplification 2.16 et 2.17 sur la formule f ⊕g, et à ordonner lexicalement les
produits des deux formules, ce qui est fait en O((|f| + |g|)log(|f| + |g|)). L’équivalence
possède la même complexité, car on a l’identité (f ⇔ g) = ¬(f ⊕g).
Le produit de deux formes de Reed-Muller ( ⊕ n
k=1 ( ⊕ m k
j=1x j k )) et (⊕ n
k=1( ′ ⊕m′ k
j=1x ′j
k )) consiste
à distribuer un produit sur deux sommes exclusives, ce qui donne potentiellement une
somme exclusive de n×n ′ produits, chacun étant constitué de m i +m ′ j occurrences de variables
(avec 1 ≤ i ≤ n et 1 ≤ j ≤ n ′ ). La conjonction donne donc un nombre de produits
quadratique. Par exemple, considérons deux formes de Reed-Muller f = ( ⊕ n
k=1 x k ) et
f ′ = ( ⊕ n
k=1 x ′ k), de taille n chacune. Le produit (f ∧f ′ ) s’écrit comme la somme exclusive
de produits
⎛ ⎞
⊕
⎜
⎝ (x k ∧x ′ ⎟
j) ⎠
1≤k≤n
1≤j≤n
qui est composée de la somme exclusive de n 2 produits de taille 2, soit une taille de 2n 2 .
L’ordonnancement lexical de la formule ainsi obtenue donne finalement la complexité.
Comme on a les égalités (f ∨g) = ¬(¬f ∧¬g) et (f ⇒ g) = (¬f ∨g), la disjonction et
l’implication possèdent la même complexité.
✷
Théorème 2.24 L’élimination existentielle ou universelle d’une variable (respectivement
d’un nombre quelconque de variables) d’une forme de Reed-Muller f est en O(|f| 2 log|f|)
(respectivement exponentiel).
Tout comme dans la section précédente avec les sommes de produits, il existe des fonctions
(par exemple les sorties d’un aditionneur) qui sont représentées exponentiellement
avec la somme exclusive de produits, alors qu’elles admettent une représentation polynomiale
avec les graphes. La réciproque, à savoir s’il existe des fonctions polynomialement
représentéespar unesommeexclusive deproduitset quin’admettent pasde représentation
polynomiale sous forme de graphe, reste ouverte 8 .
8 Elle est a notre avis fausse, mais nous n’avons pu apporter une preuve complète.