Une Boite `a Outils Pour la Preuve Formelle de Syst`emes Séquentiels

18 CHAPITRE 1. LOGIQUE PROPOSITIONNELLE QUANTIFIÉE
L’occurrence d’une variable x dans une formule f est dite libre si et seulement si cette
occurrence n’apparait pas dans le champ d’un quantificateur portant sur x. L’occurrence
non libre d’une variable est dite liée. On notera f(x 1 ,...,x n ) une formule propositionnelle
dont les variables qui possèdent au moins une occurrence libre sont x 1 ,...,x n . Par exemple,
dans la formule (∀y f(x,y,z) ⇒ (∃x g(x,y))), z est libre, les occurrences de y sont
liées, et x possède une occurrence libre (la première) et une occurrence liée (la seconde).
Une formule est dite close si toute occurrence de variable est liée. Si f(x) dénote une
formule, on notera f(t) la formule obtenue en remplaçant toute occurrence libre de x dans
f(x) par t.
1.1.2 Sémantique des formules propositionnelles quantifiées
On appelle interprétation une application i de V dans {0,1}. Toute interprétation i est
étendue en une fonction i ∗ de F dans {0, 1} de la façon suivante. Si x est une variable,
i ∗ (x) = i(x) ; i ∗ (¬f) = 1 si et seulement si i ∗ (f) = 0 ; i ∗ (f 1 ∨f 2 ) = 1 si et seulement si
i ∗ (f 1 ) = 1 ou i ∗ (f 2 ) = 1 ; i ∗ (∃xf(x)) = 1 si et seulement si i ∗ (f(0)) = 1 ou i ∗ (f(1)) = 1.
De plus, on pose les règles de réécriture suivantes, permettant d’étendre i ∗ sur toutes les
formules (dans la suite, on ne distinguera plus i et i ∗ ).
∀x f → ¬(∃x ¬f)
f ∧g → ¬(¬f ∨¬g)
f ⇒ g → ¬f ∨g
f ⇔ g → (f ⇒ g)∧(g ⇒ f)
f ⊕g → ¬(f ⇔ g)
Toute formule f associe à toute interprétation i un élément unique de {0,1}, et définit
donc une unique fonction λi.i(f) de ({0,1} → V) dans {0, 1}. Pour un ordre total fixé sur
V, une formule f définit une fonction unique de {0,1} |V| dans {0,1}. Une formule f telle
que λi.i(f) = 1, par exemple (¬x∨x), (respectivement une formule telle que λi.i(f) = 0,
par exemple (¬x∧x)), sera appelée une tautologie (respectivement une antilogie).
1.1.3 Egalité sur les formules propositionnelles
Il y a plusieurs façons d’introduire l’égalité “= B ” sur les formules propositionnelles.
Une présentation très répandue consiste à définir un ensemble récursif de formules
appelées théorèmes en utilisant un système formel [82]. Puis on dit que (f = B g) si et
seulement si la formule (f ⇔ g) est un théorème. Il existe de nombreuses axiomatisations
de ce système formel, par exemple celle-ci [127] :
Schéma d’axiomes : (f ⇒ (g ⇒ f))
((f ⇒ (g ⇒ h)) ⇒ ((f ⇒ g) ⇒ (f ⇒ h)))
((¬f ⇒ ¬g) ⇒ (g ⇒ f))
Règle d’inférence (Modus Ponens) : de f et (f ⇒ g), on dérive g.