Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

waarbij y µ
een ruimtelijk plaatsverschil is tussen de waarnemers. Als we deze translatie y µ
even
buiten beschouwing laten en het simplistische geval beschouwen waarin alleen β x
= β ≠ 0 , kunnen
we de Lorentztransformatie uitschrijven als:
Hier is de Lorentzcontractie factor γ ingevoerd:
. (1.7)
γ =
1
------------------ . (1.8)
1 – β 2
De lengte van een vier-vector is een belangrijke invariant onder Lorentz transformaties. De lengte
van een vier-impuls is ook zo’n invariant. Voor deeltjes die vrij in de ruimte bewegen is de lengte van
de vier-impuls evenredig met de massa:
Deze vergelijking kan ook worden geschreven als:
----- – p 2
. (1.9)
E 2 = p 2 c 2 + m 2 c 4 . (1.10)
In dit geval heet het de relativistische bewegingsvergelijking en deze zal een centrale rol spelen in dit
college.
Vaak is het interessant om naar de hoek te kijken van een deeltje met een bepaalde impuls ten opzichte
van een bepaalde as. Voor verschillende waarnemers die met verschillende snelheid over de as
bewegen verandert de hoek met de as. Dit komt omdat de impulscomponent loodrecht op de as niet
verandert tussen de verschillende waarnemers, maar de impulscomponent in de richting van de as
wel. Kiezen we de as in de z-richting en schrijven we de impuls loodrecht op de as voor een
waarnemer als dan geldt voor die waarnemer voor de hoek die het deeltje met de as maakt:
p T
Voor een andere waarnemer die in de richting van de z-as met een snelheid βc ten opzichte van de
eerste waarnemer beweegt is de hoek dan:
tanθ' = ----- = ------------------------- . (1.12)
p' z
γ( p z – βE)
Met de oorsponkelijke snelheid voor het deeltje gedefinieerd als:
kunnen we dit ook schrijven als:
ct ′ γ – γβ 0 0 ct
x ′ – γβ γ 0 0
y ′
=
x
=
0 0 1 0 y
z ′ 0 0 0 1 z
mc
=
tanθ
p T
βˆ
E 2
c 2
p T
p z
γ( ct – βx)
γ( x – βct)
y
z
= ---- . (1.11)
p T
p
= -- , (1.13)
E
p T ⁄ p
sinθ
tanθ' = -------------------------------------------- = -----------------------------------
γ( p z ⁄ p – β( E ⁄ p)
) γ( cosθ – β ⁄ βˆ )
(1.14)
4 Collegedictaat Hoge Energiefysica