Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

Uit de tekening in Figuur 1.1 is duidelijk dat niet alle inkomende puntdeeltjes die de harde bol raken
op dezelfde manier zullen worden verstrooid. In feite is de manier waarop deeltjes worden verstrooid
een belangrijke manier om te weten te komen hoe het doel er uit ziet. In dit geval is het een bol en
worden deeltjes verschillend verstrooid als functie van de botsingsparameter b , de kortste afstand
tussen het middelpunt van de bol in rust met de baan die het inkomende projectiel zou volgen als die
niet aan de bol in rust zou verstrooien (zie Figuur 1.1). Als het doel een vlakke schijf zou zijn zouden
alle deeltjes die de schijf raakten worden teruggekaatst in de richting waar ze vandaan kwamen en is
het verdeling van de de verstrooide deeltjes over de ruimte nogal verschillend van het geval van een
harde bol. Laten we het geval van de harde bol uitwerken als instructief voorbeeld.
We definiëren de differentiële werkzame doorsnede als functie van de verstrooiingshoek θ als het
oppervlak dσ dat correspondeert met inkomende deeltjes die verstrooid worden met een hoek tussen
θ en θ + dθ . Of het verstrooide deeltje een verstrooiingshoek in dit interval krijgt hangt in dit geval
alleen af van de botsingsparameter en we nemen het corresponderende interval in botingsparameter
tussen b en b + db . Uit Figuur 1.1 zien we:
waaruit we de relatie tussen b en θ kunnen afleiden:
b = Rsinα
en 2α + θ = π , (1.34)
θ
b = Rcos --
. (1.35)
⎝ ⎛ 2⎠
⎞
b
of θ = 2acos --
⎝ ⎛ R⎠
⎞
De differentiële werkzame doorsnede waar we naar op zoek zijn is als functie van b (we integreren
over een cirkel, dit geeft de factor 2π ):
Als functie van θ wordt de differentiële werkzame doorsnede dan:
dσ
------
dθ
dσ
= 2π bdb . (1.36)
dσ
------ . (1.37)
db
----- db 2πb R
dθ
-- θ
= = sin --
2 ⎝ ⎛ 2⎠
⎞
In plaats van alleen de verstrooiingshoek θ te beschouwen hadden we ook de differentiële werkzame
doorsnede als functie van de ruimtehoek Ω kunnen nemen. Als φ de hoek in het vlak loodrecht
op de inkomende bundel is dan geldt dΩ = sinθdθdφ
. Het probleem van de verstrooiing
aan de harde bol is symmetrisch in φ en we kunnen dan ook over φ integreren zodat we een factor
2π krijgen.
De differentiële werkzame doorsnede als functie van Ω wordt dan:
dσ dσ 2πbRsin( θ ⁄ 2)
R 2 cos( θ ⁄ 2) sin( θ ⁄ 2)
R 2
------- = ------------------------ = ------------------------------------ = ---------------------------------------------------- = ----- . (1.38)
dΩ 2πsinθdθ
2 ⋅ 2πsinθ
2sinθ
4
Dus bij een homogene inkomende flux puntdeeltjes die elastisch verstrooid worden aan een harde
bol zijn er in elk stukje van de ruimtehoek Ω evenveel verstrooide deeltjes.
Collegedictaat Hoge Energiefysica 9