Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

Door de Klein-Gordon vergelijking met φ∗ van links te vermenigvuldigen en de complex geconjugeerde
Klein-Gordon vergelijking met φ van rechts, en vervolgens de twee vergelijkingen op te
tellen en het geheel met de electrische lading e te vermenigvuldigen krijgen we een continuïteitsvergelijking
(“wet van Gauss”) die luidt:
∂ = 0 . (2.12)
Dus deze stroom is behouden. Stel dat voor een deeltje met lading e , energie E en impuls p de
stroomdichtheid gelijk is aan (de normalisatiefactor N is van vergelijking (2.9)):
j µ
( e) = 2e N 2 ( E,–
p)
, (2.13)
dan is de stroomdichtheid voor een anti-deeltje met lading – e , energie E en impuls p :
j µ
(–
e) = – 2e N 2 ( E,–
p) = 2e N 2 (– E,
p)
, (2.14)
hetgeen de oplossing is voor een deeltje met lading e , energie – E en impuls – p .
Dit betekent dat een deeltje dat met impuls p door de ruimte beweegt fysisch hetzelfde is als een
anti-deeltje dat met impuls –p door de ruimte beweegt in tegengestelde richting, maar ook teruggaand
in de tijd.
Een belangrijk en onontkoombaar gevolg van het feit dat we een relativistisch kinematische bewegingsvergelijking
als grondslag voor de quantummechanische bewegingsvergelijking hebben
genomen is dat elk deeltje ook een anti-deeltje heeft gekregen.
2.4.2 Interacties in een scalaire quantumveldentheorie
j µ
= ie( φ∗ ∂ µ
φ – ( ∂ µ
φ∗)φ)
. (2.11)
µ jµ
Als we een golffunctie met een complexe fase vermenigvuldigen verandert er niets aan de fysica:
φ → φ'
= e iϕ φ . (2.15)
Deze transformatie is de U( 1)
transformatie. Deze transformatie werkt alleen maar als invariant
voor de fysica als de fase ϕ niet van de plaats afhangt. Maar een dergelijke transformatie van de hele
ruimte op dezelfde manier is niet zo zinvol, we zouden er nooit wat van merken, omdat alle fysica er
invariant onder is. Het uitvoeren van een dergelijke transformatie op de hele ruimte tart het begrip
van causaliteit en een maximale snelheid voor informatie overdracht. Laten we dus eens kijken wat
er gebeurt als deze transformatie wel van de plaats afhangt ϕ = ϕ( x)
.
We vullen de lokaal getransformeerde golffunctie in in de Klein-Gordon vergelijking:
( + m 2 )φ' = e iϕ {( + m 2 )φ + i [( ∂ µ ϕ) ( ∂
µ φ) + ( ∂
µ ϕ) ( ∂ µ φ)
] +
[ i ϕ – ( ∂
µ ϕ) ( ∂ µ ϕ)
]φ}
(2.16)
De globale factor is natuurlijk niet terzake doende als we die gelijk aan nul stellen. Uit het stuk
tussen de accolades is de eerste term precies de Klein-Gordon vergelijking voor φ . Maar we blijven
met een hoop termen zitten die we niet een twee drie kunnen thuisbrengen en de vergelijking is dus
duidelijk niet invariant. Dit is natuurlijk het gevolg van het nemen van de afgeleiden.
We kunnen dit ongewenste effect laten verdwijnen als we de covariante afgeleide invoeren:
e iϕ
∂ µ D µ
→ = µ
∂ – ieA µ
(2.17)
Collegedictaat Hoge Energiefysica 15