Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

Later is gebleken dat zowel elektron als muon hun eigen neutrino soort hebben. Allen op deze
manier kan worden beredeneerd dat het zogenaamde leptongetal behouden is per familie. Het leptongetal
voor elektronen, negatief geladen muonen en neutrino’s is +1 terwijl voor positronen, positief
geladen muonen en anti-neutrino’s -1 wordt genomen. Het elektron en het elektron-neutrino vormen
samen een familie en het muon en het muon-neutrino vormen samen een andere familie. Zoals
gezegd is het leptongetal een behouden grootheid per familie. Als een muon in een elektron vervalt,
zullen er nu twee neutrino’s bij de eindprodukten moeten vrijkomen. Om het lepton getal te
behouden moet een positief muon vervallen in een anti-muon-neutrino, een positron en een elektronneutrino.
Niet alleen wordt zo het leptongetal per familie behouden. Ook is te zien dat een muon verval
in een elektron minstens nog een deeltje in de eindtoestand moet hebben wegens energie en
impulsbehoud. Maar als dat deeltje een neutrino is en dus halftallige spin heeft moeten het er twee
zijn om de totale spins voor en na het verval halftallig te laten zijn.
3.3 SU(2) symmetrie en de zwakke wisselwerking
Bij een behouden grootheid hoort een (globale) symmetrietransformatie (dit is het theorema van
Noether). In het geval van het lepton-getal kunnen we ons de symmetrie voorstellen door (bijv. voor
de eerste familie) het elektron en het elektron-neutrino in een vector met twee componenten te schrijven.
ν e
e
We bedenken ons nu dat het neutrino massaloos is. In dat geval is de spintoestand van het neutrino
welbepaald: het heeft spin up of spin down, of anders gezegd het is linkshandig of rechtshandig. Het
blijkt dat de enige neutrino’s die we waarnemen linkshandig zijn ! Dus ofwel er zijn geen rechtshandige
neutrino’s, ofwel ze zijn er wel maar koppelen niet aan deeltjes die we waar kunnen nemen.
Dus voor de symmetrie die op het bovenstaande doublet werkt hoeven (moeten !) we alleen de linkshandige
component in beschouwing te nemen. Het blijkt dat de linkshandige component van Dirac
spinoren is uit te projecteren met de matrix
( 1 – γ 5 )
------------------ . (3.2)
2
Omdat we alleen linkshandige neutrino’s hebben, maar zowel links als rechtshandige elektronen,
splitsen we de chirale (links- en rechtshandige) toestanden in een doublet met een linkshandig elektron
en een linkshandig neutrino en een singlet met alleen een rechtshandig elektron:
ψ L
(3.1)
ν eL ( 1 – γ 5 )
----------------- ν e
( 1 + γ 5 )
= = ψ . (3.3)
e 2
R
= e R
= ------------------e
L e
2
De rotatiesymmetriegroep van een doublet is U(2), de unitaire 2x2 matrices. De U(2) groep heeft
vier generatoren: de eenheidsmatrix en drie andere generatoren, waarvoor we de Pauli spin-matrices
kunnen kiezen. De Pauli spin matrices vormen een sub-group, SU(2), en we kunnen schrijven
U(2)=U(1)xSU(2). De operatoren van de U(1) en SU(2) groep commuteren en geven dus aanleiding
tot onafhankelijke simultane eigentoestanden. Onder de SU(2) symmetrie transformeren de linkshandige
velden als doublet (dus zoals verwacht met een rotatie in de twee-dimensionale ruimte.) De
rechtshandige velden transformeren als singlet, dat wil zeggen als gewoon getal dat hetzelfde blijft
en in feite is de SU(2) transformatie voor rechts-handige velden dus de eenheidstransformatie.
38 Collegedictaat Hoge Energiefysica