Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

M e 2 ( 2m2 ⁄ p 2 ) + 3 + cosθ
( 2m 2 ⁄ p 2 ) + 3 – cosθ
= ⎛---------------------------------------------------
– --------------------------------------------------- ⎞
⎝ cosθ
– 1
cosθ
+ 1 ⎠
(2.47)
De differentiële werkzame doorsnede voor dit proces is in het zwaartepuntssysteem te schrijven als:
Vullen we M in dan krijgen we:
dσ
-------
dΩ
2e 2 ⎛( 2m2 ⁄ p 2 ) + 3 + cos 2 θ⎞
= ⎜-----------------------------------------------------
⎝ –sin 2 ⎟
θ ⎠
dσ
-------
dΩ
f
( )
1
------------- p 1
= . (2.48)
64π 2 ----------- M 2 = -------------- 1
i
s
64π 2 M 2
s
p ( 1)
e 4 ⎛
------------- 3 + 2m2 ⁄ p 2 + cos 2 θ⎞ 2 α 2 ⎛
, (2.49)
16π 2 ⎜------------------------------------------------
s⎝
sin 2 ⎟ ----- 3 + 2m2 ⁄ p 2 + cos 2 θ⎞ 2 α 2 ⎛
⎜------------------------------------------------
θ ⎠ s ⎝ sin 2 ⎟ ----- 3 + cos2 θ⎞ 2
= =
≈ ⎜----------------------
θ ⎠ s ⎝ sin 2 ⎟
θ ⎠
waarbij de laatste gelijkheid geldt voor het geval dat de impuls van de inkomende deeltjes veel groter
is dan hun massa.
Het experiment van de Møller verstrooiing, elektronen aan elektronen, is in de zestiger jaren uitgevoerd
bij de eerste opslagring voor relativistische elektronen. Als we nu naar de meting van deze
werkzame doorsnede kijken voor elektron-elektron verstrooiing in Figuur 2.5, dan beseffen we dat
dit goed wordt beschreven door de theoretische formule die we hier hebben afgeleid. In dit geval was
de absolute normering van de werkzame doorsnede niet bekend, alleen de hoekverdeling. Als de
absolute normering ook wordt beschouwd, blijkt de voorspelling die we hier hebben gedaan een factor
twee te hoog te zijn. Maar deze formule is dan ook voor deeltjes met spin 0, bosonen ! We weten
dat elektronen spin 1/2 hebben en dus fermionen zijn. De theorie werkt dus niet hetzelfde voor
deeltjes met verschillende spin. In het bijzonder zullen we zien dat bosonen en fermionen aparte
regels volgen.
2.6 Veldentheorie voor deeltjes met spin 1/2
De theorie voor deeltjes met spin 1/2 is min of meer toevallig ontdekt door Dirac. Dirac was ontevreden
met de Klein-Gordon vergelijking omdat in eerste instantie niet duidelijk was wat men met de
negatieve energieoplossing aan moest. De reden voor het probleem van de negatieve energieoplossing
van de Klein-Gordon vergelijking die werd aangewezen was het feit dat er een term met de energie
in het kwadraat in staat. Dirac probeerde het probleem op te lossen door een vergelijking op te
stellen die de relativistische kinematica reflecteert, maar lineair is in de energie. De Klein-Gordon
vergelijking wordt voor dit doel omgeschreven als:
( p 2 – m 2 )φ = ( γ µ p µ + m) ( γ µ p µ – m)φ = 0
(2.50)
De complicatie met de γ ‘s, die de gamma matrices worden genoemd, is nodig omdat p 2 = p µ p µ
niet het produkt van twee scalairen is. Als we het produkt met de gamma matrices uitwerken zien we
dat deze voldoen aan de vergelijking:
Het is instructief dit uit te schrijven:
p µ p µ = γ ν γ λ p ν p λ
. (2.51)
22 Collegedictaat Hoge Energiefysica