Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

met x = x , y , z de plaats in de drie-dimensionale ruimte, en t de tijd. De lichtsnelheid is gegeven
door c . Hoewel x µ
conventioneel vier-vector wordt genoemd is het eigenlijk een tensor. Dit type
tensor met de index beneden wordt covariant genoemd. De index µ neemt waarden van 0 tot 3 aan,
waarbij index 0 de tijd dimensie is en de indices 1 t/m 3 voor de plaatsdimensies staan. Als de index
boven staat in plaats van onder wordt de contravariante tensor bedoeld:
Op dezelfde manier is de covariante vierimpuls gedefinieerd als:
x µ
=
ct
x
y
z
. (1.2)
p µ
=
E ⁄ c, – p x
, – p y
, – p z
, (1.3)
met E de energie en p=
p x
, p y
, p z
is de drie-impuls.
De metriek wordt gegeven door de metrische tensor g µν . De lengte s van een viervector x µ
wordt
dan gegeven door:
s 2 x µ x µ x µ g µν x ν = = =
x •
0 – 1 0 0 x
y 0 0 – 1 0 y
=
ct 1 0 0 0 ct
z 0 0 0 – 1 z
c 2 t 2 – x 2 – y 2 – z 2 . (1.4)
Hier is meteen de Einstein sommatie conventie ingevoerd: Over herhaalde indices die een keer onder
en een keer boven voorkomen wordt gesommeerd. Ook is hier te zien hoe een covariante tensor
x µ
naar zijn contravariante alter-ego
kan worden getransformeerd met:
x µ x µ = g µν x v
(1.5)
Bij het inprodukt tussen twee vier-vectoren x µ
x µ wordt als metriek de metrische tensor g µv
gebruikt.
In dit college werken we alleen in de context van de speciale relativiteitstheorie. In dat geval is de
metrische tensor precies de diagonale tensor met +1 en -1 die we hebben opgeschreven. In de algemene
relativiteitstheorie kan de metrische tensor een meer gecompliceerde vorm hebben en van de
plaats afhangen. Als dat op een niet triviale manier is, is de ruimte gekromd. Wij zullen hier alleen in
een vlakke ruimte werken.
Vier-vector en vier-impuls kunnen worden getransformeerd van een inertiaal systeem naar een ander
met behulp van Lorentz-Poincaré transformaties. Deze transformatie reflecteert dat de lichtsnelheid
de maximale snelheid is in elk inertiaal systeem.
Als voor een waarnemer een plaats is gegeven door dan is voor een andere waarnemer met rela-
x µ
tieve snelheid v
=
βc
de plaats in ruimte-tijd gegeven door:
x ′ v
µ = Λ µ xν + y µ
, (1.6)
Collegedictaat Hoge Energiefysica 3