Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

met voor elk elektron dat aan de verstrooiing deelneemt (en in dit geval voor elektron (1) opgeschreven):
(2.88)
De uitdrukking waarover wordt gesommeerd bestaat uit de vermenigvuldiging van twee getallen die
elk zijn opgebouwd uit een gammamatrix gecontraheerd met twee spinoren (zogenaamde bi-lineaire
covarianten). Omdat
f ν i
( u 1γ u1 )
µν
L ( 1)
=
∑
spin
f µ i f ν i
( u 1γ u1 )( u 1γ u1 ) ∗
een gewoon getal is maakt het niet uit dat we complex conjugeren
vervangen door hermitisch conjugeren en we gebruiken ook weer dat bij hermitisch conjugeren de
volgorde van de factoren andersom wordt:
f ν i
( u 1γ u1 ) ∗ f ν i
( u 1γ u1 ) † i ν f
= = u 1γ u1
(2.89)
en we kunnen ons ook nog realiseren dat als we de som over de spintoestanden in alle componenten
uitschrijven (wat toegegeven nogal een index-jungle is):
µν
L ( 1)
=
∑∑
s’
s
f( s’ ) µ i( s) i( s) ν f( s’ )
u 1α γαβu1β
u1δ γδεu1ε
(2.90)
we alleen nog maar met gewone getallen van doen hebben die allemaal commuteren en die we dus
naar believen kunnen herschikken, dan kunnen we de laatste spinor factor voorop zetten, zodat we
krijgen:
µν
L ( 1)
∑∑
s’
s
f( s’ ) f( s’ ) µ i( s) i( s) ν
u 1ε u1α γαβu1β
u1δ γδε
= =
f( s’ ) f( s’ )
u 1ε u1α
. (2.91)
De sommatie over de spins kunnen we ook schrijven als (bijvoorbeeld voor sommatie over s ):
en op een analoge manier voor de sommatie over s' , zodat we voor de lepton tensor krijgen:
µν
L ( 1)
f
p/1
µ
(2.92)
(( + m)γ µ ( p/1 + m)γ ν ) , (2.93)
waarbij als de indices goed worden bestudeerd gezien kan worden dat steeds paren als α en α die
naast elkaar staan kunnen worden gesommeerd, zodat uiteindelijk een sommatie over ε in een aan
elkaar grenzend paar moet worden gedaan en dat hetzelfde is als het spoor nemen van een matrix
Tr( A) ≡ A εε
. (2.94)
We kunnen nu het probleem in kleinere stukjes hakken door te gebruiken dat het spoor van de som
van twee matrices hetzelfde is als de som van het spoor Tr( A + B) = Tr( A) + Tr( B)
:
µν
L ( 1)
(2.95)
f µ i ν
f µ ν
Tr( p/1 γ p/1 γ ) Tr( p/1 γ mγ ) Tr mγ µ i ν
+ + ( p/1 γ ) + Tr( mγ µ mγ ν )
Dit is een hele verbetering als je weet hoe je de sporen over produkten van gamma matrices uit moet
rekenen. Omdat het aantal combinaties dat voorkomt in praktijk beperkt is, is een kort lijst van antwoorden
voor verschillende sporen van gamma matrices al genoeg om dit soort uitdrukkingen uit te
rekenen. Laten we eerst een lijstje geven met belangrijke spoortheorema’s:
∑
u i ( s ) i( s)
i
∑ 1β u1δ = p/1
s
= ( + m) εα γ αβ ( p/1 + m) βδ γ δε =
f
Tr p/1
= (( + m)γ µ ( p/1 + m)γ ν ) =
i
i
ν
s’
( + m) βδ
f
Tr p/1
µ
γ αβ
∑
s
i( s) i( s)
u 1β u1δ
i
δ
γ δε
30 Collegedictaat Hoge Energiefysica