Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

2.10 Opgaven
2.1 Laat zien dat formule (2.12) ( ∂ = 0 ) volgt uit de definitie van de stroomdichtheid zoals
gegeven in formule (2.11) (
= ie( φ∗ ∂ µ
φ – ( ∂ µ
φ∗)φ)
). Hint: gebruik de aanwijzingen tussen
formules (2.11) en (2.12).
2.2 Laat zien dat de Klein-Gordon vergelijking met covariante afgeleide , D µ D µ
φ + m 2 φ = 0 ,
invariant is onder de lokale ijktransformatie:
. φ → φ’ = eA µ
→ eA’ µ = eA µ
+ ∂ µ
ϕ( x)
.
2.3 Leid de expliciet Lorentzinvariante vorm van de flux in formule (2.34)
4 ( p A
⋅ p B
) 2 2 2
– m AmB ( flux = ----------------------------------------------------- ) af. Hint: gebruik het speciale geval van de botsing tussen
2E A
twee collineaire deeltjes en formule (2.33) ( flux v A
--------- 2E B
= --------- ) en het feit dat een Lorentzinvariante
uitdrukking in een speciaal frame in alle frames geldig
V V
is.
d 3 p
2.4 Een andere manier om de Lorentzinvariante faseruimte van een deeltje, dLIPS = -------------------- ,
( 2π) 3 2E
af te leiden is uit de manifest Lorentzinvariante faseruimte ( d 4 p) ⁄ ( 2π) 3 . Laat zien dat deze
twee uitdrukkingen hetzelfde zijn.
2.5 Laat zien dat inderdaad alle factoren V in formule (2.42)
⎛
⎞
1
( dσ ----------------------------------------------------- M 2 ( 2π) 4 δ⎜
p i
) tegen elkaar
4 ( p A
⋅ p B
) 2 2 2
– m AmB ∑
– p A
–
⎜
p ⎟
d 3 p i
=
B⎟∏
----------------------
⎝
⎠ ( 2π) 3 2E i
wegvallen. Hint: het kwadraat van de deltafunctie in
kan worden geschreven als een deltafunctie
maal het ruimte-tijd volume VT . Laat dit ook zien.
dσ e 4 ⎛
2.6 Leid formule (2.49) (-------
------------- 3 + 2m2 ⁄ p 2 + cos 2 θ ⎞ 2 α 2 ⎛
) af.
dΩ 16π 2 ⎜------------------------------------------------
s⎝
sin 2 ⎟ ----- 3 + 2m2 ⁄ p 2 + cos 2 θ ⎞ 2
= = ⎜------------------------------------------------
θ ⎠ s ⎝ sin 2 ⎟
θ ⎠
2.7 Het Feynmandiagram dat we hebben getekend en uitgerekend voor verstrooiing van twee
spinoren door uitwisseling van een foton is de laagste orde in een storingsreeks. Teken de Feynmandiagrammen
die horen bij de volgende term in de storingsreeks. Wat is de variabele
waarin de storingsreeks is ontwikkeld ? Waarom convergeert de reeks in numerieke zin ?
Waarom neemt de moeite die je moet doen om elke volgende orde in de storingsreeks uit te
rekenen toe ?
2.8 In het volgende hoofdstuk zal de gamma matrix γ 5 = iγ 0 γ 1 γ 2 γ 3 een belangrijke rol spelen.
Schrijf
γ 5
e iϕ( x)
φ;
V 2
j µ
uit in de Bjorken en Drell realisatie van de gamma matrices.
2.9 Bewijs vergelijking (2.97): Tr( γ µ γ ν ) = 4g µν .
2.10 Toon aan dat het spoor van een oneven aantal gamma matrices nul is.
µ jµ
N
i = 1
T fi
2
N
i = 1
Collegedictaat Hoge Energiefysica 35