Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

λ 1
= λ 2
= λ 3 1 0 0
i 0 0 = 0 – 1 0
0 1 0
0 – i 0
1 0 0
0 0 0
0 0 0
0 0 0
λ 4
= λ 5
= λ 6 0 0 0
0 0 0 = 0 0 1
0 0 1
0 0 – i
0 0 0
1 0 0
i 0 0
0 1 0
. (4.44)
0 0 0
1
λ 7
= 0 0 – i λ 8 = ------
2
0 i 0
De transformatie matrix kan dus worden geschreven als:
1 0 0
0 1 0
0 0 – 2
U = . (4.45)
De groep SU(3) is niet Abels en de Gell-Mann matrices commuteren in het algemeen niet:
waarbij de structuurconstanten van de groep worden gegeven door:
[ λ a
, λ b
] = 2if abc
λ c , (4.46)
f 147
= f 246
= f 257
= f 345
= f 516
= f 637
= 1 ⁄ 2 en alle even permutaties van indices (4.47)
f 417
= f 426
= f 527
= f 435
= f 156
= f 367
= – 1 ⁄ 2 en alle even permutaties van indices
Beschouwen we verder alleen de SU(3) transformaties dan houden we de Dirac vergelijking invariant
onder deze transformatie, ook als die op elke plaats in de ruimte anders is, als we de gewone
afgeleiden vervangen door de covariante afgeleiden:
i g s
– ---- ( λ ⋅ G)
. (4.48)
2
We hebben nu acht nieuwe velden G ingevoerd. De deeltjes die bij deze velden horen heten gluonen.
We moeten nu natuurlijk ook de bewegingsvergelijkingen van de gluonen opschrijven. Gluonen zijn
massaloze vectorbosonen, en we zouden kunnen denken dat ze ieder dezelfde bewegingsvergelijking
volgen als die voor het foton. Maar de zaak ligt wat gecompliceerder, omdat de gluonen zelf ook een
kleurlading hebben en dus onderling ook interacties hebben. In de theorie komt dat tot uitdrukking in
het feit dat in de definitie van de veldtensor een extra bilineaire term voorkomt van de gluon velden:
waarin de structuurconstanten van SU(3),
e a ⋅ λ
f abc
= 0 als a=b of a=c of b=c
f 123
= 1 en alle even permutaties van indices
f 213
= – 1 en alle even permutaties van indices
f 458
= f 678
= 3 ⁄ 2 en alle even permutaties van indices
f 548
= f 768
= – 3 ⁄ 2 en alle even permutaties van indices
F µν µ
=
D µ
≡ ∂ µ
∂ G ν ν
∂ G µ
µ ν
– – g s f abc G b Gc , (4.49)
f abc
,zijn zoals boven gedefinieerd.
De acht bewegingsvergelijkingen, de equivalenten van de Maxwell vergelijking voor het elektromagnetisch
veld, worden dan in het geval zonder externe ladingen:
64 Collegedictaat Hoge Energiefysica