Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

2
2
2( k 1
⋅ k 2
)( k 3
⋅ p) = ( m µ
– 2m µ
ω 3
– m e
)m µ
ω 3 . (3.32)
We zien dat het matrixelement alleen van de anti-elektron-neutrino energie afhangt en we kunnen de
faseruimte integreren over alle andere stukken van de eindtoestand, te beginnen bij :
d 3 k 1
∫ -----------------------
d 3 k 2
d 3 k
( 2π) 3 -----------------------
2ω 1
( 2π) 3 ----------------------- 2
2ω 2
( 2π) 3 ( 2π) 4 δ 4 ( p– k 1
– k 2
– k 3
)
2ω 2
1
----------------
8( 2π) 5 δ( m µ
– ω 1
– ω 2
– ω 3
) d3 k 2
d 3 k 3
=
∫
---------------------
ω 1
ω 2
ω 3
. (3.33)
Ook zouden we graag integreren over de anti-elektron-neutrino impuls, omdat we dat neutrino ook
niet kunnen waarnemen in de eindtoestand. Ook zitten we nog met een in de deltafunctie. We
kiezen de z-as in de richting van het anti-elektron-neutrino, dan kunnen we de hoek,
neutrino en het elektron impliciet schrijven als:
2 2
ω 1 = k 1 = k 2
+ k 3 = ω 2 + ω 3 + 2ω 2
ω 3
cosθ
en dus de integraal over deze hoek als integraal over de energie van het muon-neutrino:
– 2ω 2
ω 3
sinθ
dω 1 = --------------------------------------------------------------dθ ⇔ dθ
2 2
2 ω 2
+ ω 3
+ 2ω 2
ω 3
cosθ
We kunnen nu integreren over d 3 2
k 2
= ω 2
sinθdθdφ
:
1
----------------
8( 2π) 5 δ( m µ
– ω 1
– ω 2
– ω 3
) d3 k 2
d 3 k 3
∫
---------------------
ω 1
ω 2
ω 3
1
----------------
8( 2π) 4 δ( m µ
– ω 1
– ω 2
– ω 3
) dω 1 dω 2 d3 k 3
=
∫
------------------------------
1 dω
---------------- 2
d 3 k 3
=
∫
8( 2π) 4 -------------------- 2
ω 3
Vullen we deze faseruimteintegraal weer in met het matrixelement, dan krijgen we:
dΓ
=
2G F
2
2G F
2
∫
∫
ω 1
k 1
θ , tussen dit
(3.34)
–ω 1
dω 1
= ------------------------ . (3.35)
ω 2
ω 3
sinθ
ω 3
2
2
2 dω 2
d 3 k 3
= --------------------
( 2π) 4 ( m µ
– 2m µ
ω 3
– m e
)m µ
ω 3
--------------------
2
m µ
ω 3
2
2
----------------
( 2π) 4 ( m µ
– 2m µ ω 3
– m e
) dω 2 d3 k 3
--------------------
ω 3
. (3.36)
. (3.37)
We kunnen nu de integraal over de drie-impuls
k 3
doen (we verwaarlozen de elektron massa):
dΓ =
2
m µ G F
--------------
∫
.
2π 3 m µ – 2ω 3 3 dω 2 dω 3
(3.38)
Nu moeten we ons realiseren dat ω 3
ten hoogste m µ ⁄ 2 kan zijn en ten minste m µ ⁄ 2 – ω 2
moet
zijn. De integraal wordt daarmee:
44 Collegedictaat Hoge Energiefysica