Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

Ingeval er gesloten lussen in de Feynman diagrammen voorkomen die uit fermionen bestaan moet er
nog voor elke fermion lus een minteken worden geschreven. Berekeningen van Feynmandiagrammen
die lussen bevatten hebben zo hun eigen moeilijkheden en daar zullen we later op terugkomen.
2.8 Møller verstrooiing: elektron-elektron verstrooiing in QED
Als voorbeeld zullen we elektron-elektron verstrooiing in QED uitrekenen. Dit heet Møller verstrooiing
naar degene die er het eerste in quantummechanische context over publiceerde.
Omdat we met deeltjes met spin (elektronen) werken moeten we ons eerst een paar dingen realiseren.
Als we ongepolariseerde elektronen hebben die aan elkaar verstrooien betekent dat niets anders dan
dat de inkomende elektronen even vaak spin up als spin down hebben. De gemiddelde verdeling van
de verstrooide deeltjes die het gevolg is van de verstrooiing van even veel spin up als spin down toestanden
wordt dan ook bepaald door te middelen over de spin toestanden van de inkomende deeltjes.
Voor de uitgaande toestanden gaan we er doorgaans van uit dat we ook de verschillende polarisaties
niet kunnen onderscheiden en daar zien we dus de som van de verschillende polarisatietoestanden.
De Feynmandiagrammen die in laagste orde aan deze verstrooiing bijdragen zijn dezelfde als
hierboven voor het spinloze geval geschetst:
f
f p
p ( 2)
( 1)
+
f
f p
p ( 2)
( 1)
i
p ( 1)
i
p ( 2)
i
p ( 1)
i
p ( 2)
TUE 3
Om een technische complicatie uit de weg te gaan nemen we alleen het eerste diagram mee, dus niet
het diagram met de twee elektronen in de eindtoestand gekruist. De verstrooiing van twee niet-identieke
deeltjes zal later nog terugkomen, dus het resultaat zal niet voor niets zijn.
De uitdrukking voor het matrixelement van het eerste Feynmandiagram wordt hiermee:
2 1
M tot
= -------------------------------------------- , (2.85)
i i
( 2s 1 + 1) ( 2s 2
∑
M 2
+ 1)
waarbij ( 2s + 1) het aantal spintoestanden is voor een deeltje met spin s en M het matrix element is
voor elk van de inkomende en uitgaande spintoestanden apart:
f µ i ⎛–ig µν ⎞ f ν i
– iM = ( ieu 1γ u1 ) ⎜------------
⎟ ( ieu2γ u2 ) . (2.86)
⎝ ⎠
Het blijkt nu handig te zijn om de spin-som uit te schrijven alvorens het diagram uit te rekenen:
∑
spin
M 2
=
e 4
q 4
q 2
----L 1
µν ( 2)
( ) Lµν
spin
, (2.87)
Collegedictaat Hoge Energiefysica 29