Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

In analogie met “gewone” spin zeggen we dat er een zwakke isospin is, waarbij de linkshandige
velden zwakke isospin doublets vormen en de rechtshandige velden zwakke isospin singlets.
We hadden al gezien dat we op de velden ook een U(1) transformatie kunnen toepassen: de vermenigvuldiging
met een complex getal van lengte 1. We kunnen nu de transformaties samen nemen
in een U(1)xSU(2) transformatie. Voor de linkshandige velden wordt de SU(2) “matrix” dus met een
complexe fase vermenigvuldigd en voor de rechtshandige velden is de transformatie alleen deze vermenigvuldiging
met een complexe fase. We kunnen dus onmiddellijk concluderen dat voor de
rechtshandige velden de situatie precies zo is als beschreven in hoofdstuk 2 voor het geval van QED.
Voor de linkshandige velden ligt de situatie in principe hetzelfde, maar met een wat ingewikkelder
transformatie en dientengevolge met wat praktische complicaties.
De algemene symmetrietransformatie voor SU(2) schrijven we weer in de vorm van de operator:
U
=
e igλ ⋅ T
, (3.4)
1
waarin we T = --σ kunnen nemen in doublet representatie, met σ = ( σ de Pauli matrices,
2
1
, σ 2
, σ 3
)
en g de koppelingsconstante van de interactie is. De algemene vorm voor een transformatie uit de
U(1)xSU(2) groep is dus: 1 ig’θ Y -- 2
U e e igλ ⋅ T i ⎛ g’θ Y --
e
2 + gλ ⋅ T⎞
⎝
⎠
= =
, (3.5)
waarbij de U(1) en de SU(2) transformatie ieder hun eigen koppelingsconstante hebben, g' en g ,
respectievelijk. De operator Y heet de hyperlading en zal voor rechts- en linkshandige deeltjes verschillend
blijken te zijn.
Passen we deze transformatie toe, maar dan als een lokale symmetrie, dan zijn we genoodzaakt een
vector van vier extra velden in te voeren B µ
voor het U(1) veld en W µ
= ( W 1µ
, W 2µ
, W 3µ
) voor de
drie generatoren van SU(2). De covariante afgeleide definieren we als:
– ig' Y --B . (3.6)
2 µ
– igT ⋅ W µ
Voor zwakke isospin doublets heeft T de eigenwaarde 1 ⁄ 2 , en neemt de derde component van
deze zwakke isospin operator de eigenwaarde T 3
= +1 ⁄ 2 aan voor neutrino’s en T 3
= – 1 ⁄ 2 voor
elektronen.
Onder infinitesimale veranderingen van θ en λ veranderen de linkshandige velden als:
ψ 1 ig'θ Y → ⎛ -- , (3.7)
⎝
+ +
2 ig 2 --λ ⋅ σ ⎞
⎠ ψ; g'Bµ → g'B µ
+ ∂ µ
θ; W µ
→ W µ
+ ∂ µ
λ– g( λ × W µ
)
Waarbij we hebben gebruikt dat
en dat de structuurconstanten voor de SU(2) groep in de
representatie met de Pauli matrices als generatoren f abc = iε abc
zijn, met ε abc
het volledig antisymmetrische
Levi-Civita symbool. 2
=
D µ
∂ µ
T = σ ⁄ 2
1. Deze benadering verschilt in een opzicht van die gekozen voor QED: in dat geval komt namelijk de EM koppeling e niet voor in
de U(1) transformatie, terwijl hier de koppelingsconstanten hier wel degelijk in de transformaties voorkomen. Dit is puur een conventiekeuze.
2. Het symmetrische Levi-Civita symbool geeft 0 als er een paar identieke indices zijn, 1 als de indices een even permutatie van de
reeks 1,...,n zijn (als er n indices zijn), en -1 als de indices een oneven permutatie van de reeks 1,...,n zijn.
Collegedictaat Hoge Energiefysica 39