Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

. (2.55)
De Pauli matrices zijn natuurlijk bekend om hun betekenis in de transformatie van spinoren, twee
component vectoren die een spin 1/2 deeltje beschrijven. De gamma matrices bevatten elk twee Pauli
matrices en het is dan ook al aan te voelen dat we hier een beschrijving hebben van een deeltje en
anti-deeltje met spin 1/2.
Een spinor is een vector met twee componenten met speciale transformatieëigenschappen onder
rotaties in de ruimte. Als we roteren om een as
gegeven door
θ
, dan transformeert een spinor als:
waarbij e – iθσ
1
= 1 + (–
iθσ)
+ -- (–
iθσ) 2 + … een twee bij twee matrix is.
2
De conventionele keus voor de Dirac vergelijking is nu:
θ , waarbij de grootte van de rotatiehoek wordt
, (2.56)
( γ µ p µ
– m) = 0 → ( iγ µ ∂ µ
– m)ψ
= ( i/ ∂ – m)ψ = 0 , (2.57)
waar de gebruikelijke substitutie is gemaakt om de niet quantummechanische bewegingsvergelijking
om te schrijven in een quantummechanische. We hadden ook de versie met het plus teken voor de
massa kunnen kiezen en dezelfde resultaten in het volgende gekregen. De golffunctie ψ is nu een
vector met vier elementen en wordt Dirac spinor genoemd (of ook wel bi-spinor.)
De notatie waarbij een impliciete contractie met een gamma matrix wordt gemaakt,
wijdverbreid en wordt ook vaak gezien met de impuls,
, is
. De uitspraak van deze symbolen
is d-slash en p-slash, respectievelijk.
Om ons te realiseren wat de Dirac vergelijking nu betekent kunnen we een stroomdichtheid invoeren
als:
, (2.58)
waarbij we geadjungeerde ψ van de golffunctie ψ hebben ingevoerd die is gedefinieerd als:
. (2.59)
De Dirac vergelijking kunnen we hermitisch conjugeren (met gebruikmaking van ( AB) † = B † A † )
en van rechts met
σ 1 =
0 1
σ 2 =
0 – i
σ 3 =
1 0
1 0
i 0
0 – 1
vermenigvuldigen:
α'
β'
j µ
=
=
e – iθσ α
β
– eψγ µ ψ
ψ ≡ ψ † γ 0
p/ = γ µ p µ
/∂ = γ µ ∂ µ
γ 0 ∂
– i ψ . (2.60)
∂t
† γ 0 ∂
+ i ψ
∂x k
†(–
γ k ) – mψ † = i ∂ µ ψγ µ + mψ = 0
Door nu de Dirac vergelijking van links te vermenigvuldigen met
en de geadjugeerde Dirac
vergelijking van rechts te vermenigvuldigen met ψ en deze twee vergelijkingen van elkaar af te
trekken krijgen we net als bij de Klein-Gordon vergelijking weer een continuïteitsvergelijking voor
de stroom:
∂ = – e ∂ µ ( ψγµ ψ)
= 0 . (2.61)
µ jµ
ψ
24 Collegedictaat Hoge Energiefysica