Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

Als we de normering van de spinoren kiezen als voor scalaire deeltjes, dat wil zeggen als voor de
oplossingen van de Klein-Gordon vergelijking, dan krijgen we:
Daaruit volgt dat:
∫
V
u ( r)
† ( s)
u
waarbij δ rs
het Kronecker-symbool is, dat één is als r = s en nul als r ≠ s .
Belangrijke relaties in de praktijk zijn de volledigheidsrelaties:
ρdV =
∫ψ † ψdV = u † u ≡ 2E . (2.75)
V
= 2Eδ rs
v ( r)
† ( s)
v
= 2Eδ rs
, (2.76)
∑
u s)
γ µ p µ
m
s = 1,
2
= + = p/ + m
∑
v s)
γ µ p µ
m
s = 1,
2
= – = p/ – m
Merk op dat deze uitdrukkingen vier bij vier matrices beslaan.
. (2.77)
KUN 3
2.7 Quantumelectrodynamica (QED)
Net als bij scalaire deeltjes maakt het ook bij spinoren niet uit of de golffunctie met een complex
getal wordt vermenigvuldigd. Ook in dit geval kunnen we deze transformatie weer lokaal maken en
zo de ijktheorie ontdekken die bij deze transformatie hoort voor het geval van spinoren.
Passen we het idee van de covariante afgeleide weer toe dan verandert de Diracvergelijking voor een
vrij deeltje in:
Door deze vergelijking van links met
met de Hamiltoniaan
en de storingsterm
( iγ µ
p µ – m)ψ = – eγ µ
A µ ψ . (2.78)
γ 0
∂ψ
i
∂t
te vermenigvuldigen krijgen we iets van de vorm:
= ( H + V)ψ
H = γ 0 γ k p k + γ 0 m
V = – eγ 0 γ µ A µ
(2.79)
(2.80)
. (2.81)
De overgangsamplitude wordt dan net als voor scalaire deeltjes in vergelijking (2.25):
T fi
∫
µ
= i j fiAµ
d 4 x . (2.82)
Ook volkomen analoog aan het geval voor scalaire deeltjes wordt het electromagnetisch veld veroorzaakt
door een geladen deeltje gegeven door (zie vergelijking (2.27)):
A µ =
jµ
q 2
–
------ . (2.83)
Collegedictaat Hoge Energiefysica 27