Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

van complex doublet en het geconjungeerde veld nodig hebben om een reëel scalair antwoord te
krijgen.
7.2 Het hiërarchieprobleem
Omdat lusdiagrammen die bijdragen aan de propagator of een correctie geven op de vertex geabsorbeerd
kunnen worden in een herdefinitie (renormalisatie) van de koppelingsconstanten en de massa is
de consequentie (zoals we al hebben gezien voor de sterke koppelingsconstante in hoofdstuk 4) dat
de koppelingsconstante en de massa af hangen van de energieschaal die wordt gebruikt om die
grootheden te meten. Met name geldt dit voor alle drie de koppelingsconstanten, die van de U(1),
SU(2) en SU(3) groepen. Het blijkt dat de drie koppelingsconstanten bij een energieschaal van de
orde van 10 16 GeV de zelfde waarde hebben (ongeveer 1/26). Deze energieschaal heet de “Grand
Unification Scale” ook wel afgekort tot GUT. Er is nog een hogere energieschaal die speciale
betekenis heeft, namelijk de Planck schaal die van de orde van 10 18 GeV is. Bij de Planck schaal
gaat zwaartekracht zo’n grote rol spelen dat quantumtheorie zonder zwaartekracht geen correcte
theorie meer kan zijn.
Nu hebben we dus twee energieschalen die een rol spelen in the theorie. Bij de ene schaal van orde
10 2 GeV wordt de electrozwakke symmetrie gebroken en bij de andere schaal bij 10 16 GeV wordt
de relatie tussen electrozwakke en sterke koppelingsconstanten verbroken. Dit verschil in energieschalen
geeft een praktisch probleem.
Als we aannemen dat in beide gevallen het Higgs mechanisme verantwoordelijk is voor het breken
van de respectievelijke symmetrie dan geldt voor het potentiaalstuk van de Lagrangiaan voor deze
twee Higgs velden, Φ en φ , in het algemeen:
1
V Higgs
--AΦ 2 1
– --BΦ 4 1 1
= + –
. (7.3)
2 4 2 --aφ2 + --bφ 4 +
1 4 2 --λΦ2 φ 2
De GUT symmetrie wordt gebroken bij de schaal
V GUT
= -- . (7.4)
B
De vacuümverwachtingswaarde van het Higgs veld dat de GUT symmetrie breekt speelt nu ook een
rol bij de breking van de electrozwakke symmetrie
2 ( a – λV GUT )
= ------------------------------ . (7.5)
b
Overigens heeft de formule voor net zo’n correctie, maar omdat zo klein is ten opzichte
van
2
V GUT
v EW
2
V GUT
2 A
is die correctie te verwaarlozen. In geval van formule (7.5) ligt dat helemaal anders. Als
λ ongelijk aan nul is, dan moeten de parameters a en λ op elkaar zijn afgestemd met een precisie
van 26 orden van grootte, het kwadraat van het quotiënt van de GUT en electrozwakke schalen.
Dit probleem heet het hiërarchie probleem. Nu is het niet zo’n drama als er dus één keer zo’n afstemming
moet plaats vinden. Maar in storingstheorie zouden we voor elke nieuwe orde in de berekening
de waarden van a en λ opnieuw op elkaar moeten afstemmen met die geweldige precisie.
2
2
v EW
106 Collegedictaat Hoge Energiefysica