Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

De waarschijnlijksdichtheid
(2.62)
is nu evident positief. Hier was het Dirac om te doen.
We kunnen nu de Dirac vergelijking op lossen voor een vrij veld. Het is instructief om eerst te kijken
naar de situatie van een vrij deeltje in rust, dat wil zeggen met impuls nul. In dat geval zijn de afgeleiden
naar de plaats nul en reduceert de Dirac vergelijking tot:
iγ 0 ∂ψ – mψ = 0 . (2.63)
∂t
Omdat in de Bjorken en Drell realisatie van de gamma matrices er twee blokjes van 2 bij 2 langs de
diagonaal zijn voor ligt het voor de hand om ook de Dirac spinor ψ in twee stukken van twee
componenten op te splitsen:
γ 0
. (2.64)
Vullen we deze substitutie in vergelijking (2.63) in dan krijgen we de twee vergelijkingen (van twee
componenten elk):
. (2.65)
Hieruit zien we dat ψ A een deeltje (in rust) beschrijft met energie E = m en ψ B een deeltje met
energie E = – m . Net als bij de Klein-Gordon vergelijking zullen we een deeltje met negatieve energie
opvatten als een antideeltje met positieve energie.
Ondanks alle complicaties die we ons dus op de hals hebben gehaald blijft de conclusie dat als we
quantummechanica met een relativistische bewegingsvergelijking gebruiken we voor elk deeltje een
antideeltje krijgen.
We kunnen nu ook de Dirac vergelijking oplossen voor het algemene geval het deeltje een impuls
ongelijk nul heeft. Om te beginnen splitsen we een factor
van de golffunctie af:
Vullen we dit in de Dirac vergelijking (2.57) in dan krijgen we de twee gekoppelde vergelijkingen:
. (2.67)
We kunnen nu eenvoudig voor het stuk dat de positieve energie oplossing beschrijft,
twee onafhankelijke oplossingen kiezen:
ρ = ψγ 0 ψ = ψ † ψ = ψ 2
ψ
=
ψ A
ψ B
∂
( ψA ) = – imψ
∂t
A
∂
( ψB ) = +imψ
∂t
B
4
∑
i = 1
e – ipx
ψ u( p)e – ipx u A ( p)
= =
. (2.66)
u B ( p) e – ipx
( σ ⋅ p)u B = ( E – m)u A
( σ ⋅ p)u A = ( E + m)u B
u A
, een van de
Collegedictaat Hoge Energiefysica 25