Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

en eisen dat het nieuwe veld onder de transformatie (2.15) meetransformeert als 1 :
De Klein-Gordon vergelijking wordt dan:
(2.18)
D µ D µ
φ + m 2 φ = φ + m 2 φ– ie( A µ ∂
µ φ + ∂ µ ( φA µ
))
– e 2 A 2 φ = 0 , (2.19)
waarin het onderstreepte deel nieuw is. De evenredigheidsconstante e suggereert terecht een lading.
Het veld kan worden geïnterpreteerd als het foton veld. Nu we dat fotonveld hebben ingevoerd
moeten we volledigheidshalve ook nog een bewegingsvergelijking toevoegen voor het vrije fotonveld:
A µ
∂ = 0 , (2.20)
met F µν
= ∂ µ
A ν
– ∂ ν
A µ
volgens de normale definitie van de electromagnetische tensor. Dit zijn
de (vier) homogene Maxwell vergelijkingen. In aanwezigheid van het electrisch geladen veld φ
moeten de homogene Maxwell vergelijkingen worden vervangen door:
∂ = j µ
, (2.21)
met j µ
zoals gedefinieerd in (2.11). Later zullen we zien hoe dit kan worden afgeleid (in hoofdstuk
6).
Het deel van de bewegingsvergelijkingen waarin de velden φ en A µ ongemengd voorkomen beschrijft
de vrije deeltjes. De termen waarin de velden gemengd zijn beschrijven de interacties tussen de
deeltjes.
De term e 2 A 2 in vergelijking (2.19) zullen we verwaarlozen (dat kan omdat de waarde van de electrische
lading e in natuurlijke eenheden typisch minder dan 0.1 is.) Dan houden we voor het interactiestuk
over:
Vφ = – ie( A µ ∂
µ φ + ∂
µ ( φA µ
))
. (2.22)
De overgangsamplitude tussen een begintoestand en een eindtoestand wordt dan gegeven door
de projectie van φ i
na verstrooiing V op φ f
:
T fi
= i φ f
∗ie( A µ ∂
µ φ µ
i
+ ∂ ( A µ
φ i
))d 4 x , (2.23)
Door partiële integratie is dat uit te werken ( φ f
∗
∫
∂
µ ( A µ
φ )d 4 x i
= – µ φ f
∗
∫ ( ∂ ) A µ
φ i
d 4 x , de bijdrage
van de potentiaal op oneindig is nul verondersteld) tot:
T fi = i ie( φ f
∗ ( ∂
µ φ i ) – ( ∂
µ φ f
∗)φ i )A µ d 4 x . (2.24)
Als we de stroomdichtheid volgens vergelijking (2.11),
wordt dit eenvoudig:
A µ
eA µ
→ eA' µ = eA µ
+ ∂ µ
ϕ
∫
∫
ν Fµν
ν Fµν
φ i
µ
j fi
φ f
= ie( φ f
∗ ∂ µ φ µ i – ( ∂ φ f
∗)φ i ) , gebruiken
1. Later in hoofstuk 3 zullen we zien dat deze transformatie-eigenschap eigenlijk is af te leiden en deze simpele gedaante aanneemt
voor Abelse (commutatieve) symmetriegroepen, zoals de U(1) fase-transformatie die we hier beschouwen.
16 Collegedictaat Hoge Energiefysica