Keuzecollege Hoge EnergieFysica Katholieke Universiteit ... - EHEF

Het aantal eindtoestanden wordt gegeven door het aantal deeltjes in een gegeven volume V maal het
aantal toestanden per deeltje voor dit volume. Het aantal toestanden dat een deeltje met impuls p kan
innemen in een bepaald volume is eindig. Als we het volume als een doos met zijden van lengte ,
l y
. l z
zien en periodieke randvoorwaarden nemen, dan is het aantal toestanden in elke richting
gegeven door n x
= l x
p x
⁄ ( 2π)
, n y
= l y
p y
⁄ ( 2π)
en n z
= l z
p z
⁄ ( 2π)
. In drie dimensies geeft dat
voor het volume V
Het aantal toestanden voor een impulsinterval tussen
voor het volume V =
is dan:
( p x
, p y
, p z
) en ( p x
+ dp x
, p y
+ dp y
, p z
+ dp z
)
V
dn = dn x
dn y
dn z
= -------------dp . (2.36)
( 2π) 3 x
dp y
dp z
Dit geldt voor elk deeltje in het volume V . Het aantal deeltjes in het volume V volgt uit de waarschijnlijkheidsdichtheid:
en de normering van de golffunctie:
zodat:
l x
l y
l z
n x
n y
n z
(2.37)
∫φ∗φdV
= 1 , (2.38)
(2.39)
en het aantal deeltjes in volume V gelijk is aan 2E . De faseruimte voor één deeltje in volume V
wordt dan gegeven door de toestandsdichtheid voor het deeltje gedeeld door het aantal deeltjes in het
volume:
Vd 3 p i
---------------------- . (2.40)
( 2π) 3 2E i
De Lorentzinvariante faseruimte (LIPS) wordt verkregen door met de normeringsfactor van de golffunctie
van de deeltjes in het kwadraat,
∫
V
∫
V
l x
p x
-------- l y p y
-------- l z p z
= -------- . (2.35)
2π 2π 2π
ρdV = 2 N 2 EdV = 2 N 2 EV
dLIPS
n
N
∏
i = 1
N 2
=
1
= -------
V
=
n
∏
i = 1
1 ⁄ V
te vermenigvuldigen:
d 3 p i
----------------------
( 2π) 3 2E i
(2.41)
De formule voor de werkzame doorsnede van twee botsende deeltjes, A en B, met N deeltjes in de
eindtoestand, die we zo krijgen wordt de gouden regel van Fermi genoemd:
l x
20 Collegedictaat Hoge Energiefysica