Wärmelehre - gilligan-online

2.2.6 Berechnung des Gesamtdruckes
Berücksichtigung der drei kartesischen Komponenten des Geschwindigkeitsvektors
In der bisherigen Rechnung wurde nur die x-Komponente des
Geschwindigkeitsvektors berücksichtigt. Es muss der Übergang vom mittleren
Geschwindigkeitsquadrat der x-Komponente zum mittleren Geschwindigkeitsquadrat
unter Berücksichtigung der drei Koordinatenrichtungen vollzogen werden. Den
Übergang von
2
v x zu
2
v liefern die folgenden Überlegungen.
Für den Betrag des Geschwindigkeitsquadrats gilt nach dem Satz des PYTHAGORAS
2
2
x
2
y
v = v + v + v
2
z
Im Würfel befinden sich sehr viele Teilchen in ungeordneter statistischer Bewegung.
Deshalb darf nicht eine Koordinatenrichtung vor der anderen ausgezeichnet sein.
Dieses plausible Ergebnis liefern auch statistische Methoden. Für die Mittelwerte der
Geschwindigkeitsquadrate muss also gelten
2
x
2
y
v = v = v
Damit wird
2 1 v x = v
3
2
2
z
Setzt man dies in die oben abgeleitete Beziehung für den Druck ein, so erhält man
die Grundgleichung der kinetischen Theorie
1
p = n
~
3
v
m
M
v
2
Ohne Beweis sei angegeben, dass dieses Ergebnis auch dann gilt, wenn
• Zusammenstöße zwischen den Molekülen vorkommen und
• die Form des Gasbehälters beliebig ist.
2.3 Folgerungen aus der Grundgleichung
2.3.1 Mittlere Geschwindigkeit – Zusammenhang zwischen
makroskopischen Messgrößen und mikroskopischen Größen
Die Grundgleichung der kinetischen Theorie lautet
1
p = n
~
3
v
m
M
v
2
Mit der Definition der Teilchenzahldichte
n
~
v =
N
V
wird daraus
N m
n
~
v mM
= mM
= = ρ dabei ist ρ die Dichte für einen homogenen Körper
V V
Setzt man dies in die Grundgleichung ein, so erhält man
Wärmelehre – Abschnitt 2
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’Kinetische Gastheorie’