Wärmelehre - gilligan-online

Wahrscheinlichste Geschwindigkeit
Der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit entspricht dem Maximum der
MAXWELLschen Geschwindigkeitsverteilungsfunktion. Sie ergibt sich aus der
Bedingung
zu
dP(
v)
d
⎡
⎢
⎛ mM
⎞
= 4π⎜
⎟
dv
dv
⎢ ⎝ 2πkT
⎠
⎣
v
w = 2
RmT
M
3 / 2
v
2
e
mM
− v
2kT
2
v w
⎤
⎥ = 0
⎥
⎦
Durchschnittliche Geschwindigkeit
v d
Die durchschnittliche Geschwindigkeit ist der arithmetische Mittelwert der
Geschwindigkeitsbeträge aller Teilchen. Bestimmt werden muss also das Integral
∞
∫
0
⎛
v ⋅ P(
v ) dv
= 4π
⎜
⎝ 2π
Man erhält
v
d
=
8
π
RmT
M
M
R
m
⎞
⎟
T ⎠
3 / 2
⋅
∞
∫
0
v
3
e
−
2
M
R
2
v
mT
Ausgedrückt in der wahrscheinlichsten Geschwindigkeit erhält man
8 v 4
v =
π 2 π
w
d = = v w 1, 128
v
w
dv
Mittlere Geschwindigkeit
v m
Die mittlere Geschwindigkeit ist die Wurzel aus dem Mittelwert der
Geschwindigkeitsquadrate aller Teilchen. Dies hat als Konsequenz, dass größere
Geschwindigkeiten stärker gewichtet werden als bei der durchschnittlichen
Geschwindigkeit.
__
2
Das mittlere Geschwindigkeitsquadrat v bestimmt sich aus dem Integral
∞
∫
0
v
2
⎛
⋅ P(
v)
dv
= 4π
⎜
⎝ 2π
M
R
m
⎞
⎟
T ⎠
3 / 2
Der Wert des Integrals ergibt sich zu
__
2 3
v
=
RmT
M
⋅
∞
∫
0
v
4
e
−
2
M
R
2
v
mT
dv
Wärmelehre – Abschnitt 2
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’Kinetische Gastheorie’