Lineare Algebra und Analytische Geometrie

Baumeister: Lineare Algebra I / Stand: August 1996 3Das Hinschreiben der Elemente kann auf dreierlei Weise geschehen: Hat die Menge nurganz wenige Elemente, so kann man sie einfach alle hinschreiben, durch Kommata getrennt,auf die Reihenfolge kommt es dabei nicht an, etwa:{1, 2, 3} = {2, 3, 1} = {3, 3, 1, 2} .Die zweite Möglichkeit ist, Elemente, die man nicht nennt, durch Punkte anzudeuten,etwa:{1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} = {1, 2,...,8} = {1,...,8} .Die dritte Möglichkeit besteht darin, Objekte einer Menge als Elemente dadurch zuzuordnen,daß man ihnen eine charakterisierende Eigenschaft zuweist. Ist E eine Eigenschaft,die jedes Objekt x einer Menge M hat oder nicht hat, so bezeichne{x ∈ M|x hat die Eigenschaft E}die Menge aller Elemente von M, die die Eigenschaft E haben; etwaIN 0 := {x ∈ ZZ |x nicht negativ} .Wichtig beim Hinschreiben von Mengen ist, daß stets nachgeprüft werden kann, ob einspezielles Objekt einer in Frage stehenden Menge angehört oder nicht; in der Definitionvon Cantor ist dies festgehalten. (Dies korrespondiert mit dem ausgeschlossenen Dritten).Nun haben wir schon viele Worte zu einem recht einfachen Sachverhalt gemacht.... Ähnlich ist es mit der Notation der Mengenlehre. Sie ist so einfach, daß sie schon an derGrundschule gelehrt werden kann. Was manchmal seitenlang in einem Vorwort zu einem Lehrbuchsteht, paßt schon in ganz wenige Sätze: Mit p ∈ F wird ausgedrückt, daß p ein Element der MengeF ist, und mit F ⊂ G, daßjedesElementvonF ebenso ein Element von G ist. Haben wir zweiMengen A und B, dann ist A ∩ B die Menge, die jene Elemente enthält, die sowohl zu A als auchzur Menge B gehören; mit A ∪ B ist die Menge gemeint, die jene Elemente enthält, die zur MengeA, B oder zu beiden gehören; und A ′ ist die Menge jener Elemente, die nicht zu A gehören. EineMenge, die keine Elemente enthält, ist eine leere Menge und wird mit ∅, manchmal auch mit {}angegeben, geschweifte Klammern ohne Inhalt. Ende des Mini-Kurses.Poulos, J.A.: Von Algebra bis Zufall, Campus, Frankfurt, 1992Den obigen Mini-Kurs bringen wir noch in eine “anständige“ Form:Definition 1.1Seien A, B Mengen.(a) A ⊂ B : ⇐⇒ (x ∈ A =⇒ x ∈ B)(b) A = B : ⇐⇒ (A ⊂ B,B⊂ A)(c) A ∩ B := {x|x ∈ A und x ∈ B} := {x|x ∈ A, x ∈ B}(d) A ∪ B := {x|x ∈ A oder x ∈ B}(Teilmenge)(Gleichheit)(Durchschnitt)(Vereinigung)2